Encontre o raio para um círculo centrado na origem que contém uma raiz (real ou complexa) para o polinômio utilizando as fórmulas abordadas em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o raio de um círculo centrado na origem que contenha pelo menos uma raiz (pode ser real ou complexa) do polinômio . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites das raízes de polinômios, especificamente a Fórmula de Cauchy, que nos ajuda a estimar um círculo que contenha todas as raízes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a Fórmula de Cauchy. Essa fórmula nos dá um limite superior para o módulo das raízes de um polinômio. Ou seja, todas as raízes do polinômio estarão dentro de um círculo de raio definido por:
Onde é o coeficiente líder do polinômio e são os demais coeficientes.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes do polinômio dado:
Aqui, temos:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores absolutos dos coeficientes divididos pelo coeficiente líder:

Passo 5

Identificamos o maior valor entre esses resultados, que é 3500. Então, aplicando a Fórmula de Cauchy:

Resposta

O raio do círculo é .

Exercícios relacionados

Utilize a função de iteração para encontrar uma aproximação para uma raiz para a função pelo Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial e com uma precisão .
Obs.: Em cada cálculo utilize pelo menos 3 casas decimais depois da vírgula (ponto).
Encontre uma aproximação para uma raiz da função pelo Método de Newton-Raphson, tomando como aproximação inicial e precisão (Utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto)).
Utilize o Método da Secante para encontrar um valor aproximado para calculando uma aproximação para a raiz de , utilizando como aproximações iniciais e uma precisão .
Obs.: Em cada cálculo utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto).
Considere a função . Encontre o menor inteiro positivo de tal forma que com pelo menos iterações eu possa encontrar uma raiz de no intervalo com uma precisão pelo Método da Bissecção.