Encontre o raio para um círculo centrado na origem que contém uma raiz (real ou complexa) para o polinômio utilizando as fórmulas abordadas em aula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o raio de um círculo centrado na origem que contenha pelo menos uma raiz (pode ser real ou complexa) do polinômio . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites das raízes de polinômios, especificamente a Fórmula de Cauchy, que nos ajuda a estimar um círculo que contenha todas as raízes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a Fórmula de Cauchy. Essa fórmula nos dá um limite superior para o módulo das raízes de um polinômio. Ou seja, todas as raízes do polinômio estarão dentro de um círculo de raio definido por:
Onde é o coeficiente líder do polinômio e são os demais coeficientes.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes do polinômio dado:
Aqui, temos:
(coeficiente de )
(coeficiente de )
(coeficiente de )
(coeficiente de )
(termo constante)
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores absolutos dos coeficientes divididos pelo coeficiente líder:
Passo 5
Identificamos o maior valor entre esses resultados, que é 3500. Então, aplicando a Fórmula de Cauchy: