Encontre o raio para um círculo centrado na origem que contém uma raiz (real ou complexa) para o polinômio p4(x)=x^4-12 x^3-65 x^2+1200 x-3500 utilizando as fórmulas abordadas em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o raio de um círculo centrado na origem que contenha pelo menos uma raiz (pode ser real ou complexa) do polinômio . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites das raízes de polinômios, especificamente a Fórmula de Cauchy, que nos ajuda a estimar um círculo que contenha todas as raízes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a Fórmula de Cauchy. Essa fórmula nos dá um limite superior para o módulo das raízes de um polinômio. Ou seja, todas as raízes do polinômio estarão dentro de um círculo de raio R = 1 + max(|an-1an|, |an-2an|, dots, |a0an|) definido por:
Onde é o coeficiente líder do polinômio e são os demais coeficientes.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes do polinômio dado:
p4(x) = x^4 - 12x^3 - 65x^2 + 1200x - 3500
Aqui, temos:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores absolutos dos coeficientes divididos pelo coeficiente líder:
|an-1an| = |-121| = 12
|an-2an| = |-651| = 65
|an-3an| = |12001| = 1200
|a0an| = |-35001| = 3500

Passo 5

Identificamos o maior valor entre esses resultados, que é 3500. Então, aplicando a Fórmula de Cauchy:
R = 1 + 3500 = 3501

Resposta

O raio do círculo é .

Exercícios relacionados