Utilize o Método da Secante para encontrar um valor aproximado barxi para raiz[5]100 calculando uma aproximação para a raiz de f(x)=x^5-100, utilizando como aproximações iniciais x0=3 e x1=2 e uma precisão varepsilon=10^-3.
Obs.: Em cada cálculo utilize pelo menos 4 casas decimais depois da vírgula (ponto).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar um valor aproximado para raiz[5]100 usando o Método da Secante. Isso significa que vamos encontrar uma raiz da função f(x) = x^5 - 100. Para isso, vamos usar as aproximações iniciais x0=3 e x1=2, e vamos continuar o processo até que a precisão desejada, que é varepsilon=10^-3, seja alcançada.

Passo 2

No Método da Secante, usamos a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Essa fórmula nos permite calcular uma nova aproximação usando os dois passos anteriores.

Passo 3

Primeira iteração ( n=1):
Calculamos f(x0) e f(x1).
f(3) = 3^5 - 100 = 243 - 100 = 143
f(2) = 2^5 - 100 = 32 - 100 = -68
Agora aplicamos a fórmula da secante:
x2 = 2 - (-68) cdot 2 - 3-68 - 143 = 2 - (-68) cdot -1-211 = 2 - 68211 approx 2 - 0,3223 = 1,6777

Passo 4

Verificamos a precisão:
|x2 - x1| = |1,6777 - 2| = 0,3223 > 10^-3
Como ainda não alcançamos a precisão desejada, continuamos.
Segunda iteração ( n=2):
Calculamos f(x1) e f(x2).
f(2) = -68
f(1,6777) = (1,6777)^5 - 100 approx 14,2995 - 100 = -85,7005
Aplicamos a fórmula:
x3 = 1,6777 - (-85,7005) cdot 1,6777 - 2-85,7005 - (-68) = 1,6777 - (-85,7005) cdot (-0,3223) / (-17,7005)
Calculando as frações:
1,6777 - 2-85,7005 + 68 = -0,3223-17,7005 approx 0,0182
Então:
x3 = 1,6777 - (-85,7005) cdot 0,0182 approx 1,6777 + 1,5561 = 3,2338

Passo 5

Verificamos a precisão:
|x3 - x2| = |3,2338 - 1,6777| = 1,5561 > 10^-3
Como a diferença ainda é maior que a precisão desejada, continuamos.
Terceira iteração ( n=3):
Calculamos f(x2) e f(x3).
f(1,6777) = -85,7005
f(3,2338) = (3,2338)^5 - 100 approx 345,4321 - 100 = 245,4321
Aplicamos a fórmula:
x4 = 3,2338 - 245,4321 cdot 3,2338 - 1,6777245,4321 - (-85,7005) = 3,2338 - 245,4321 cdot 1,5561331,1326
Calculando as frações:
3,2338 - 1,6777245,4321 + 85,7005 = 1,5561331,1326 approx 0,0047
Então:
x4 = 3,2338 - 245,4321 cdot 0,0047 approx 3,2338 - 1,1540 = 2,0798

Passo 6

Verificamos a precisão:
|x4 - x3| = |2,0798 - 3,2338| = 1,1540 > 10^-3
Continuamos o processo.

Passo 7

Quarta iteração ( n=4):
Calculamos f(x3) e f(x4).
f(3,2338) = 245,4321
f(2,0798) = (2,0798)^5 - 100 approx 45,3994 - 100 = -54,6006
Aplicamos a fórmula:
x5 = 2,0798 - (-54,6006) cdot 2,0798 - 3,2338-54,6006 - 245,4321 = 2,0798 - (-54,6006) cdot (-1,1540) / (-300,0327)
Calculando as frações:
2,0798 - 3,2338-54,6006 - 245,4321 = -1,1540-300,0327 approx 0,0038
Então:
x5 = 2,0798 - (-54,6006) cdot 0,0038 approx 2,0798 + 0,2072 = 2,2870

Passo 8

Verificamos a precisão:
|x5 - x4| = |2,2870 - 2,0798| = 0,2072 > 10^-3
Continuamos o processo.

Resposta

Após várias iterações, observamos que o Método da Secante não está convergindo para um valor próximo de raiz[5]100 com as aproximações iniciais x0=3 e x1=2 dentro da precisão varepsilon=10^-3. Pode ser necessário escolher outros valores iniciais ou utilizar outro método de aproximação.

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