Utilize o Método de Descartes para encontrar as possibilidades para a quantidade de raízes negativas e positivas do polinômio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Método de Descartes para descobrir quantas raízes positivas e negativas o polinômio
pode ter. Vamos precisar entender como aplicar o Método de Descartes, que nos ajuda a estimar o número de raízes positivas e negativas de um polinômio analisando as mudanças de sinais dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o número de raízes positivas. Para isso, olhamos para o próprio polinômio
e contamos quantas vezes os sinais dos coeficientes mudam de um termo para o próximo.
O polinômio é:
Vamos observar as mudanças de sinal:
- De
(+) para (-): muda uma vez. - De
(-) para (-): sem mudança. - De
(-) para (+): muda uma vez. - De
(+) para (-): muda uma vez.
Total de mudanças de sinal: 3.
De acordo com o Método de Descartes, o número de raízes positivas é igual ao número de mudanças de sinal ou menos um múltiplo de 2. Então, as possibilidades são:
Passo 3
Agora, vamos determinar o número de raízes negativas. Para isso, substituímos
por
no polinômio e contamos as mudanças de sinal novamente.
Substituindo
por
em
:
Simplificando:
Agora, vamos contar as mudanças de sinal:
- De
(+) para (+): sem mudança. - De
(+) para (-): muda uma vez. - De
(-) para (-): sem mudança. - De
(-) para (-): sem mudança.
Total de mudanças de sinal: 1.
Segundo o Método de Descartes, o número de raízes negativas é igual ao número de mudanças de sinal ou menos um múltiplo de 2. Assim, temos:
Resposta
Portanto, o polinômio
pode ter:
- 3 ou 1 raiz positiva
- 1 raiz negativa