Utilize o Método de Descartes para encontrar as possibilidades para a quantidade de raízes negativas e positivas do polinômio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Método de Descartes para descobrir quantas raízes positivas e negativas o polinômio pode ter. Vamos precisar entender como aplicar o Método de Descartes, que nos ajuda a estimar o número de raízes positivas e negativas de um polinômio analisando as mudanças de sinais dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o número de raízes positivas. Para isso, olhamos para o próprio polinômio e contamos quantas vezes os sinais dos coeficientes mudam de um termo para o próximo.
O polinômio é:
Vamos observar as mudanças de sinal:
  1. De (+) para (-): muda uma vez.
  2. De (-) para (-): sem mudança.
  3. De (-) para (+): muda uma vez.
  4. De (+) para (-): muda uma vez.
Total de mudanças de sinal: 3.
De acordo com o Método de Descartes, o número de raízes positivas é igual ao número de mudanças de sinal ou menos um múltiplo de 2. Então, as possibilidades são:

Passo 3

Agora, vamos determinar o número de raízes negativas. Para isso, substituímos por no polinômio e contamos as mudanças de sinal novamente.
Substituindo por em :
Simplificando:
Agora, vamos contar as mudanças de sinal:
  1. De (+) para (+): sem mudança.
  2. De (+) para (-): muda uma vez.
  3. De (-) para (-): sem mudança.
  4. De (-) para (-): sem mudança.
Total de mudanças de sinal: 1.
Segundo o Método de Descartes, o número de raízes negativas é igual ao número de mudanças de sinal ou menos um múltiplo de 2. Assim, temos:

Resposta

Portanto, o polinômio pode ter:
  • 3 ou 1 raiz positiva
  • 1 raiz negativa

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