Utilize o Método de Descartes para encontrar as possibilidades para a quantidade de raízes negativas e positivas do polinômio
p4(x)=x^4-12 x^3-65 x^2+1200 x-3500

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Método de Descartes para descobrir quantas raízes positivas e negativas o polinômio pode ter. Vamos precisar entender como aplicar o Método de Descartes, que nos ajuda a estimar o número de raízes positivas e negativas de um polinômio analisando as mudanças de sinais dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o número de raízes positivas. Para isso, olhamos para o próprio polinômio p4(x) = x^4 , (-) , 12x^3 , (-) , 65x^2 , (+) , 1200x , (-) , 3500 e contamos quantas vezes os sinais dos coeficientes mudam de um termo para o próximo.
O polinômio é:
3 ou 1
Vamos observar as mudanças de sinal:
  1. De (+) para (-): muda uma vez.
  2. De (-) para (-): sem mudança.
  3. De (-) para (+): muda uma vez.
  4. De (+) para (-): muda uma vez.
Total de mudanças de sinal: 3.
De acordo com o Método de Descartes, o número de raízes positivas é igual ao número de mudanças de sinal ou menos um múltiplo de 2. Então, as possibilidades são:

Passo 3

Agora, vamos determinar o número de raízes negativas. Para isso, substituímos p4(-x) = (-x)^4 - 12(-x)^3 - 65(-x)^2 + 1200(-x) - 3500 por p4(-x) = x^4 + 12x^3 - 65x^2 - 1200x - 3500 no polinômio e contamos as mudanças de sinal novamente.
Substituindo 1 por em :
Simplificando:
Agora, vamos contar as mudanças de sinal:
  1. De (+) para (+): sem mudança.
  2. De (+) para (-): muda uma vez.
  3. De (-) para (-): sem mudança.
  4. De (-) para (-): sem mudança.
Total de mudanças de sinal: 1.
Segundo o Método de Descartes, o número de raízes negativas é igual ao número de mudanças de sinal ou menos um múltiplo de 2. Assim, temos:

Resposta

Portanto, o polinômio pode ter:
  • 3 ou 1 raiz positiva
  • 1 raiz negativa

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