Encontre o raio para um circulo centrado na origem que contém todas as raízes (reais ou complexas) do polinômio utilizando uma das fórmulas abordadas em aula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o raio de um círculo centrado na origem que contenha todas as raízes do polinômio . Para isso, vamos usar um método que nos dá um limite para essas raízes. Essa matéria está relacionada com as “Boundaries de Raízes de Polinômios” na Álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como determinar um limite máximo para as raízes de um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes do polinômio. O polinômio geral de grau 4 é . No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos usar o Limite de Cauchy para encontrar um raio que contenha todas as raízes do polinômio. A fórmula do Limite de Cauchy é:
Isso significa que o raio R será igual a 1 mais o maior valor absoluto entre os coeficientes divididos pelo coeficiente líder.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas frações:
Passo 5
Agora, identificamos o maior desses valores. Entre 12, 65, 1200 e 3500, o maior é 3500.
Passo 6
Aplicando a fórmula do Limite de Cauchy:
Portanto, o raio mínimo do círculo que contém todas as raízes do polinômio é 3501.
Resposta
O raio do círculo centrado na origem que contém todas as raízes do polinômio é 3501.