Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral integral-1^1 raiz1+x^2 d x, para cinco subintervalos.

Passo 1

Beleza! A gente vai estimar o valor da integral usando a regra do trapézio com cinco subintervalos. A regra do trapézio é uma técnica de aproximação para integrais definidas que usa trapézios para estimar a área sob uma curva. Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo em cinco partes iguais, calcular os valores da função nos pontos desses intervalos e aplicar a fórmula da regra do trapézio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da regra do trapézio. Ela é dada por:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ]
Onde:
  • é a largura de cada subintervalo.
  • é o número de subintervalos.
  • são os pontos que dividem o intervalo .

Passo 3

Vamos calcular a largura de cada subintervalo ( h = b - an = 25 = 0,4 ). O intervalo total é de a , ou seja, . Dividindo isso por subintervalos:

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos x0 = -1 x1 = x0 + h = -1 + 0,4 = -0,6 x2 = x1 + h = -0,6 + 0,4 = -0,2 x3 = x2 + h = -0,2 + 0,4 = 0,2 x4 = x3 + h = 0,2 + 0,4 = 0,6 x5 = x4 + h = 0,6 + 0,4 = 1 a :

Passo 5

Vamos calcular os valores da função f(x0) = raiz1 + (-1)^2 = raiz2 approx 1,4142 f(x1) = raiz1 + (-0,6)^2 = raiz1 + 0,36 = raiz1,36 approx 1,1662 f(x2) = raiz1 + (-0,2)^2 = raiz1 + 0,04 = raiz1,04 approx 1,0198 f(x3) = raiz1 + (0,2)^2 = raiz1 + 0,04 = raiz1,04 approx 1,0198 f(x4) = raiz1 + (0,6)^2 = raiz1 + 0,36 = raiz1,36 approx 1,1662 f(x5) = raiz1 + (1)^2 = raiz2 approx 1,4142 para cada ponto:

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula da regra do trapézio com os valores calculados:
integral-1^1 raiz1+x^2 , dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + f(x5) ]
Substituindo os valores:
approx 0,42 [ 1,4142 + 2(1,1662) + 2(1,0198) + 2(1,0198) + 2(1,1662) + 1,4142 ]

Passo 7

Vamos calcular dentro do colchete:
1,4142 + 2(1,1662) = 1,4142 + 2,3324 = 3,7466 3,7466 + 2(1,0198) = 3,7466 + 2,0396 = 5,7862 5,7862 + 2(1,0198) = 5,7862 + 2,0396 = 7,8258 7,8258 + 2(1,1662) = 7,8258 + 2,3324 = 10,1582 10,1582 + 1,4142 = 11,5724
Agora, multiplicando pelo 0,42 times 11,5724 = 0,2 times 11,5724 = 2,3145 :

Resposta

A estimativa da integral usando a regra do trapézio com cinco subintervalos é aproximadamente 2,3145.

Exercícios relacionados