Considere a função
f(x)=x-1x+1
no intervalo [1,3]. Determine o menor n in N e(n+1) pontos distintos t0, ldots, tn de [1,3], tal que o erro da interpolação de f pelo polinômio Ln(f, x) que interpola f em t0, ldots, tn seja menor que 0.0001 para todo x in[1,3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício de interpolação de funções usando polinômios. O enunciado fala sobre uma função no intervalo e quer saber qual é o menor valor de (um número natural) e quais pontos devemos escolher nesse intervalo para que o erro na aproximação dessa função por um polinômio de grau seja menor que 0,0001 para todo em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre interpolação polinomial. Interpolar uma função significa encontrar um polinômio que passe exatamente por alguns pontos específicos dessa função. No nosso caso, queremos um polinômio de grau que passa por pontos distintos da função no intervalo .

Passo 3

Agora, é importante entender como o erro dessa aproximação é calculado. Existe uma fórmula que nos dá uma estimativa do erro máximo entre a função original e o polinômio interpolador. Essa fórmula é chamada de fórmula do erro de interpolação de Lagrange e é dada por:
En(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - ti)
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em algum ponto no intervalo , e são os pontos onde estamos interpolando a função.

Passo 4

Nosso objetivo é garantir que o erro | f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - ti) | < 0,0001 seja menor que 0,0001 para todo em . Para isso, precisamos encontrar o menor tal que:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular a f(x) = x+1 - 2x+1 = 1 - 2x+1 -ésima derivada de f'(x) = ddx(1 - 2x+1) = 2(x+1)^2 . Vamos encontrar algumas derivadas para identificar um padrão.
A função é f''(x) = ddx(2(x+1)^2) = -4(x+1)^3 . Podemos reescrever isso como:
f'''(x) = 12(x+1)^4
Agora, vamos derivar:
  • Primeira derivada:
    f^(n+1)(x) = (-1)^n cdot 2 cdot (n+1)!(x+1)^n+2
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
Percebemos que a -ésima derivada de segue o padrão:

Passo 6

Agora, vamos usar essa expressão na fórmula do erro:
|En(x)| = | f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - ti) | = | (-1)^n cdot 2 cdot (n+1)!(xi+1)^n+2(n+1)! prodi=0^n (x - ti) | = | 2(xi+1)^n+2 prodi=0^n (x - ti) |
Para garantir que esse valor seja menor que 0,0001, precisamos estimar os valores máximos desses termos no intervalo .

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar o valor máximo de 2(1+1)^n+2 = 22^n+2 = 12^n+1 no intervalo . Como está em , o denominador é mínimo quando é mínimo, ou seja, . Assim:
Esse é o valor máximo de no intervalo.

Passo 8

Agora, vamos considerar o produto prodi=0^n |x - ti| <= 1^n+1 = 1 . O valor absoluto desse produto será máximo quando estiver no meio dos pontos . Para simplificar, vamos supor que escolhemos os pontos de forma a minimizar esse produto, por exemplo, usando os pontos de Chebyshev, que distribuem os pontos de forma a minimizar o erro máximo.
Entretanto, para simplificar, podemos usar uma estimativa grosseira e considerar que o produto , onde é o intervalo. No nosso caso, , então:

Passo 9

Com essas estimativas, nosso erro satisfeito é:
|En(x)| <= 12^n+1 times 1 < 0,0001
Então, precisamos encontrar o menor 12^n+1 < 0,0001 tal que:

Passo 10

Vamos resolver essa inequação para 2^n+1 > 10,0001 = 10,000 :
(n+1) cdot log(2) > log(10,000)
Tomando o logaritmo de ambos os lados:
n+1 > log(10,000)log(2) approx 40,3010 approx 13,2877
n + 1 > 13,2877 implies n > 12,2877
Então,
Como deve ser um número natural, o menor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor valor de é 13, com 14 pontos de interpolação no intervalo , garantindo que o erro da interpolação seja menor que 0,0001 para todo em .

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