Provar que, se , então

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. O enunciado diz que temos uma função e precisamos provar que os diferenciais divididos de também são uma combinação linear dos diferenciais divididos de e . Ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais divididos e como eles se comportam com combinações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são diferenciais divididos. Diferenciais divididos são uma ferramenta usada na interpolação polinomial para construir polinômios que passam por um conjunto de pontos dados. O diferencial dividido de ordem para os pontos de uma função é denotado por e é definido recursivamente.
A definição básica é:
E para :

Passo 3

Agora, vamos explorar a propriedade que queremos provar: a linearidade dos diferenciais divididos. Ou seja, se , então os diferenciais divididos de são vezes os diferenciais divididos de mais vezes os diferenciais divididos de .
Vamos verificar isso passo a passo usando a definição dos diferenciais divididos.

Passo 4

Começamos verificando para a base da indução, ou seja, para . Neste caso:
Então, a propriedade vale para .

Passo 5

Agora, assumimos que a propriedade vale para algum . Ou seja, assumimos que:
Isso é a nossa hipótese de indução.

Passo 6

Precisamos provar que a propriedade também vale para . Usando a definição dos diferenciais divididos:
Substituindo :
E, pela hipótese de indução:

Passo 7

Substituindo essas expressões na definição de :
Distribuindo o numerador:

Passo 8

Agora, podemos separar as frações:
Observando a definição dos diferenciais divididos novamente, vemos que cada fração é exatamente e .

Passo 9

Portanto, temos:
Isso mostra que a propriedade é válida para , completando a indução.

Resposta

Assim, provamos que se , então

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Provar que
onde .
Provar que
Provar que
Considere a função
no intervalo . Determine o menor pontos distintos de , tal que o erro da interpolação de pelo polinômio que interpola em seja menor que 0.0001 para todo .