Provar que, se
, então
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. O enunciado diz que temos uma função
e precisamos provar que os diferenciais divididos de
também são uma combinação linear dos diferenciais divididos de
e
. Ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais divididos e como eles se comportam com combinações lineares de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são diferenciais divididos. Diferenciais divididos são uma ferramenta usada na interpolação polinomial para construir polinômios que passam por um conjunto de pontos dados. O diferencial dividido de ordem
para os pontos
de uma função
é denotado por
e é definido recursivamente.
A definição básica é:
E para
:
Passo 3
Agora, vamos explorar a propriedade que queremos provar: a linearidade dos diferenciais divididos. Ou seja, se
, então os diferenciais divididos de
são
vezes os diferenciais divididos de
mais
vezes os diferenciais divididos de
.
Vamos verificar isso passo a passo usando a definição dos diferenciais divididos.
Passo 4
Começamos verificando para a base da indução, ou seja, para
. Neste caso:
Então, a propriedade vale para
.
Passo 5
Agora, assumimos que a propriedade vale para algum
. Ou seja, assumimos que:
Isso é a nossa hipótese de indução.
Passo 6
Precisamos provar que a propriedade também vale para
. Usando a definição dos diferenciais divididos:
Substituindo
:
E, pela hipótese de indução:
Passo 7
Substituindo essas expressões na definição de
:
Distribuindo o numerador:
Passo 8
Agora, podemos separar as frações:
Observando a definição dos diferenciais divididos novamente, vemos que cada fração é exatamente
e
.
Passo 9
Portanto, temos:
Isso mostra que a propriedade é válida para
, completando a indução.
Resposta
Assim, provamos que se
, então
Exercícios relacionados
Provar que
onde
.
Provar que
Provar que
Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.0001 para todo
.