Provar que, se F(x)=alpha f(x)+beta g(x), então
F[x0, x1, ldots, xn]=alpha f[x0, x1, ldots, xn]+beta g[x0, x1, ldots, xn]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. O enunciado diz que temos uma função F[x0, x1, ldots, xn] = alpha f[x0, x1, ldots, xn] + beta g[x0, x1, ldots, xn] e precisamos provar que os diferenciais divididos de também são uma combinação linear dos diferenciais divididos de e . Ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais divididos e como eles se comportam com combinações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são diferenciais divididos. Diferenciais divididos são uma ferramenta usada na interpolação polinomial para construir polinômios que passam por um conjunto de pontos dados. O diferencial dividido de ordem h[x0] = h(x0) para os pontos h[x0, x1, ldots, xn] = h[x1, ldots, xn] - h[x0, ldots, xn-1]xn - x0 de uma função é denotado por e é definido recursivamente.
A definição básica é:
E para :

Passo 3

Agora, vamos explorar a propriedade que queremos provar: a linearidade dos diferenciais divididos. Ou seja, se , então os diferenciais divididos de são vezes os diferenciais divididos de mais vezes os diferenciais divididos de .
Vamos verificar isso passo a passo usando a definição dos diferenciais divididos.

Passo 4

Começamos verificando para a base da indução, ou seja, para F[x0] = F(x0) = alpha f(x0) + beta g(x0) = alpha f[x0] + beta g[x0] . Neste caso:
Então, a propriedade vale para .

Passo 5

Agora, assumimos que a propriedade vale para algum F[x0, x1, ldots, xk] = alpha f[x0, x1, ldots, xk] + beta g[x0, x1, ldots, xk] . Ou seja, assumimos que:
Isso é a nossa hipótese de indução.

Passo 6

Precisamos provar que a propriedade também vale para F[x0, x1, ldots, xk+1] = F[x1, ldots, xk+1] - F[x0, ldots, xk]xk+1 - x0 . Usando a definição dos diferenciais divididos:
F[x1, ldots, xk+1] = alpha f[x1, ldots, xk+1] + beta g[x1, ldots, xk+1]
Substituindo F[x0, ldots, xk] = alpha f[x0, ldots, xk] + beta g[x0, ldots, xk] :
E, pela hipótese de indução:

Passo 7

Substituindo essas expressões na definição de F[x0, x1, ldots, xk+1] = ( alpha f[x1, ldots, xk+1] + beta g[x1, ldots, xk+1] ) - ( alpha f[x0, ldots, xk] + beta g[x0, ldots, xk] )xk+1 - x0 :
= alpha ( f[x1, ldots, xk+1] - f[x0, ldots, xk] ) + beta ( g[x1, ldots, xk+1] - g[x0, ldots, xk] )xk+1 - x0
Distribuindo o numerador:

Passo 8

Agora, podemos separar as frações:
= alpha f[x1, ldots, xk+1] - f[x0, ldots, xk]xk+1 - x0 + beta g[x1, ldots, xk+1] - g[x0, ldots, xk]xk+1 - x0
Observando a definição dos diferenciais divididos novamente, vemos que cada fração é exatamente e .

Passo 9

Portanto, temos:
F[x0, x1, ldots, xk+1] = alpha f[x0, x1, ldots, xk+1] + beta g[x0, x1, ldots, xk+1]
Isso mostra que a propriedade é válida para , completando a indução.

Resposta

Assim, provamos que se F[x0, x1, ldots, xn] = alpha f[x0, x1, ldots, xn] + beta g[x0, x1, ldots, xn] , então

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