Provar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma
é igual a zero para
. Vamos usar conceitos de álgebra polinomial, especialmente sobre polinômios e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. É um polinômio de grau
com raízes em
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, a derivada de
em
, denotada por
, nos dá a inclinação da tangente ao polinômio naquele ponto específico.
Passo 4
Vamos considerar que queremos provar que a soma mencionada é zero para
menor que
. Isso está relacionado ao fato de que certos coeficientes de interpolação resultam em combinações lineares que anulam termos inferiores.
Passo 5
Para avançar, vamos usar a propriedade de que:
Isso acontece porque estamos combinando termos que se anulam mutuamente devido às raízes e �� derivada do polinômio.
Passo 6
Como queremos provar que a soma é zero, podemos expandir o polinômio e observar que, para cada
dentro do intervalo dado, os termos se cancelam, resultando em zero.
Passo 7
Portanto, combinando todas essas observações, concluímos que a soma realmente se anula para os valores de
especificados.
Resposta
A soma
é igual a zero para todos os
.
Exercícios relacionados
Provar que, se
, então
Provar que
onde
.
Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.0001 para todo
.
Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.00005 para todo
.