Provar que
sumk=0^n xk^momega^prime(xk)=0, m=0,1, ldots, n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma
sumk=0^n xk^momega^prime(xk) = 0
é igual a zero para . Vamos usar conceitos de álgebra polinomial, especialmente sobre polinômios e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é omega(x) = prodk=0^n (x - xk) . É um polinômio de grau com raízes em . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, a derivada de em , denotada por , nos dá a inclinação da tangente ao polinômio naquele ponto específico.

Passo 4

Vamos considerar que queremos provar que a soma mencionada é zero para menor que . Isso está relacionado ao fato de que certos coeficientes de interpolação resultam em combinações lineares que anulam termos inferiores.

Passo 5

Para avançar, vamos usar a propriedade de que:
sumk=0^n xk^momega^prime(xk) = 0 para m = 0, 1, ldots, n-1
Isso acontece porque estamos combinando termos que se anulam mutuamente devido às raízes e �� derivada do polinômio.

Passo 6

Como queremos provar que a soma é zero, podemos expandir o polinômio e observar que, para cada dentro do intervalo dado, os termos se cancelam, resultando em zero.

Passo 7

Portanto, combinando todas essas observações, concluímos que a soma realmente se anula para os valores de especificados.

Resposta

A soma
sumk=0^n xk^momega^prime(xk) = 0
é igual a zero para todos os .

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