Considere a função
f(x)=log (x+2)
no intervalo [0,1]. Determine o menor n in N e(n+1) pontos distintos t0, ldots, tn de [0,1], tal que o erro da interpolação de f pelo polinômio Ln(f, x) que interpola f em t0, ldots, tn seja menor que 0.00005 para todo x in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente trabalhar com a função no intervalo [0,1]. A gente precisa encontrar o menor número de pontos distintos nesse intervalo, de modo que o erro de interpolação, ao usar um polinômio de interpolação , seja menor que 0.00005 para todo em [0,1]. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial e análise do erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação polinomial. Basicamente, a interpolação polinomial de grau é um polinômio que passa exatamente pelos pontos para . A ideia é aproximar a função usando esse polinômio.

Passo 3

Agora, sobre o erro de interpolação. O erro entre a função E(x) = f(x) - Ln(f, x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - ti) e o polinômio de interpolação pode ser estimado pela fórmula do erro de interpolação de Lagrange:
onde é algum valor no intervalo [0,1]. Nosso objetivo é garantir que esse erro seja menor que 0.00005 para todo no intervalo.

Passo 4

Vamos analisar cada parte dessa fórmula de erro:
  1. Derivada de ordem f^(k)(x) = (-1)^k-1 (k-1)!(x+2)^k : Precisamos encontrar |f^(n+1)(x)| = n!(x+2)^n+1 <= n!2^n+1 . Para , as derivadas sucessivas são:
Então,
pois .
  1. Produto dos termos : O máximo desse produto no intervalo [0,1] é . Isso acontece quando os pontos são distribuídos uniformemente, maximizando a distância entre eles.

Passo 5

Juntando essas informações, temos a estimativa para o erro:
|E(x)| <= n!2^n+1 (n+1)!) (12)^n+1 = 12^2n+2 (n+1)
Queremos que esse erro seja menor que 0.00005:
12^2n+2 (n+1) < 0.00005

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o menor 2^2n+2 (n+1) > 10.00005 = 20000 :
(2n + 2) ln 2 + ln(n+1) > ln(20000)
Tomando logaritmo dos dois lados para facilitar:
(2n + 2)(0.693) + ln(n+1) > 9.903
Calculando:
(10)(0.693) + ln(5) approx 6.93 + 1.609 = 8.539 < 9.903
Vamos testar valores de (12)(0.693) + ln(6) approx 8.316 + 1.792 = 10.108 > 9.903 :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Portanto, o menor valor de ti = i5 para i = 0,1,2,3,4,5 é 5, e os pontos podem ser escolhidos de forma uniforme no intervalo [0,1], por exemplo:

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