Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.00005 para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente trabalhar com a função
no intervalo [0,1]. A gente precisa encontrar o menor número
de pontos distintos
nesse intervalo, de modo que o erro de interpolação, ao usar um polinômio de interpolação
, seja menor que 0.00005 para todo
em [0,1]. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial e análise do erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação polinomial. Basicamente, a interpolação polinomial de grau
é um polinômio
que passa exatamente pelos pontos
para
. A ideia é aproximar a função
usando esse polinômio.
Passo 3
Agora, sobre o erro de interpolação. O erro entre a função
e o polinômio de interpolação
pode ser estimado pela fórmula do erro de interpolação de Lagrange:
onde
é algum valor no intervalo [0,1]. Nosso objetivo é garantir que esse erro seja menor que 0.00005 para todo
no intervalo.
Passo 4
Vamos analisar cada parte dessa fórmula de erro:
- Derivada de ordem
: Precisamos encontrar . Para , as derivadas sucessivas são:
Então,
pois
.
- Produto dos termos
: O máximo desse produto no intervalo [0,1] é . Isso acontece quando os pontos são distribuídos uniformemente, maximizando a distância entre eles.
Passo 5
Juntando essas informações, temos a estimativa para o erro:
Queremos que esse erro seja menor que 0.00005:
Passo 6
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o menor
:
Tomando logaritmo dos dois lados para facilitar:
Calculando:
Vamos testar valores de
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Portanto, o menor valor de
é 5, e os pontos
podem ser escolhidos de forma uniforme no intervalo [0,1], por exemplo:
Exercícios relacionados
Considere a função
no intervalo
. Determine o menor
pontos distintos
de
, tal que o erro da interpolação de
pelo polinômio
que interpola
em
seja menor que 0.0001 para todo
.
Provar que
Newton Sejam
e
. Provar que o coeficiente de
do polinômio que interpola a tabela
, é diferente de zero.
Decompor em soma de frações elementares das seguintes funções