Considere a função
no intervalo . Determine o menor pontos distintos de , tal que o erro da interpolação de pelo polinômio que interpola em seja menor que 0.00005 para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente trabalhar com a função no intervalo [0,1]. A gente precisa encontrar o menor número de pontos distintos nesse intervalo, de modo que o erro de interpolação, ao usar um polinômio de interpolação , seja menor que 0.00005 para todo em [0,1]. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial e análise do erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é interpolação polinomial. Basicamente, a interpolação polinomial de grau é um polinômio que passa exatamente pelos pontos para . A ideia é aproximar a função usando esse polinômio.

Passo 3

Agora, sobre o erro de interpolação. O erro entre a função e o polinômio de interpolação pode ser estimado pela fórmula do erro de interpolação de Lagrange:
onde é algum valor no intervalo [0,1]. Nosso objetivo é garantir que esse erro seja menor que 0.00005 para todo no intervalo.

Passo 4

Vamos analisar cada parte dessa fórmula de erro:
  1. Derivada de ordem : Precisamos encontrar . Para , as derivadas sucessivas são:
Então,
pois .
  1. Produto dos termos : O máximo desse produto no intervalo [0,1] é . Isso acontece quando os pontos são distribuídos uniformemente, maximizando a distância entre eles.

Passo 5

Juntando essas informações, temos a estimativa para o erro:
Queremos que esse erro seja menor que 0.00005:

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o menor :
Tomando logaritmo dos dois lados para facilitar:
Calculando:
Vamos testar valores de :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Portanto, o menor valor de é 5, e os pontos podem ser escolhidos de forma uniforme no intervalo [0,1], por exemplo:

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Considere a função
no intervalo . Determine o menor pontos distintos de , tal que o erro da interpolação de pelo polinômio que interpola em seja menor que 0.0001 para todo .
Provar que
Newton Sejam e . Provar que o coeficiente de do polinômio que interpola a tabela , é diferente de zero.
Decompor em soma de frações elementares das seguintes funções