Considere a função
b) Considere o intervalo
. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão
.
b) Considere o intervalo
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e um intervalo
. A gente precisa usar o método da bissecção para fazer duas iterações e então pegar o ponto médio do último intervalo obtido como ponto de partida para o método de Newton-Raphson. O objetivo final é encontrar uma raiz dessa função com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses métodos e aplicar passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira iteração do método da bissecção no intervalo
.
- Encontrar o ponto médio:
- Calcular
: - Determinar o intervalo para a próxima iteração:
- Como
e , os sinais de e são ambos negativos. Isso significa que a raiz está no outro subintervalo, ou seja, entre e .
- Como
Então, o novo intervalo após a primeira iteração é
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda iteração do método da bissecção no intervalo
.
- Encontrar o ponto médio:
- Calcular
: - Determinar o intervalo para a próxima iteração:
- Como
e , novamente os sinais são negativos. Então, a raiz está no intervalo .
- Como
O novo intervalo após a segunda iteração é
.
Passo 4
Agora que fizemos duas iterações do método da bissecção, temos o intervalo
e o ponto médio
. Esse ponto médio será a nossa aproximação inicial para o método de Newton-Raphson.
Vamos aplicar o método de Newton-Raphson usando
e iterar até alcançar a precisão de
.
Primeiro, precisamos da derivada de
:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Vamos começar as iterações:
Iteração 1 (
):
Iteração 2 (
):
Iteração 3 (
):
Iteração 4 (
):
Iteração 5 (
):
Iteração 6 (
):
Iteração 7 (
):
Iteração 8 (
):
Iteração 9 (
):
Iteração 10 (
):
Iteração 11 (
):
Continuamos esse processo até que a diferença entre as aproximações seja menor que
. Após algumas iterações, chegamos a:
Resposta
Aproximação da raiz de
no intervalo
com precisão
usando os métodos da bissecção e de Newton-Raphson é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)
b)
Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio
com 2 dígitos significativos.
Considere o problema de resolver
via método do ponto fixo, onde
.
b) Mostre que é função de iteração de
.
b) Mostre que
Considere o problema de resolver
via método do ponto fixo, onde
.
c) Calcule e analise
.
c) Calcule