Considere a função
b) Considere o intervalo . Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e um intervalo . A gente precisa usar o método da bissecção para fazer duas iterações e então pegar o ponto médio do último intervalo obtido como ponto de partida para o método de Newton-Raphson. O objetivo final é encontrar uma raiz dessa função com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses métodos e aplicar passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira iteração do método da bissecção no intervalo .
  1. Encontrar o ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Determinar o intervalo para a próxima iteração:
    • Como e , os sinais de e são ambos negativos. Isso significa que a raiz está no outro subintervalo, ou seja, entre e .
Então, o novo intervalo após a primeira iteração é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda iteração do método da bissecção no intervalo .
  1. Encontrar o ponto médio:
  2. Calcular :
  3. Determinar o intervalo para a próxima iteração:
    • Como e , novamente os sinais são negativos. Então, a raiz está no intervalo .
O novo intervalo após a segunda iteração é .

Passo 4

Agora que fizemos duas iterações do método da bissecção, temos o intervalo e o ponto médio . Esse ponto médio será a nossa aproximação inicial para o método de Newton-Raphson.
Vamos aplicar o método de Newton-Raphson usando e iterar até alcançar a precisão de .
Primeiro, precisamos da derivada de :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Vamos começar as iterações:
Iteração 1 ( ):
Iteração 2 ( ):
Iteração 3 ( ):
Iteração 4 ( ):
Iteração 5 ( ):
Iteração 6 ( ):
Iteração 7 ( ):
Iteração 8 ( ):
Iteração 9 ( ):
Iteração 10 ( ):
Iteração 11 ( ):
Continuamos esse processo até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

Aproximação da raiz de no intervalo com precisão usando os métodos da bissecção e de Newton-Raphson é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)
Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio com 2 dígitos significativos.
Considere o problema de resolver via método do ponto fixo, onde .
b) Mostre que é função de iteração de .
Considere o problema de resolver via método do ponto fixo, onde .
c) Calcule e analise .