Considere a função f(x)=e^x-4 x^2
b) Considere o intervalo I=[-1,5]. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão 10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e um intervalo . A gente precisa usar o método da bissecção para fazer duas iterações e então pegar o ponto médio do último intervalo obtido como ponto de partida para o método de Newton-Raphson. O objetivo final é encontrar uma raiz dessa função com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses métodos e aplicar passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira iteração do método da bissecção no intervalo c1 = -1 + 52 = 2 .
  1. Encontrar o ponto médio: f(2) = e^2 - 4(2)^2 = e^2 - 16 approx 7,389 - 16 = -8,611
  2. Calcular :
  3. Determinar o intervalo para a próxima iteração:
    • Como e , os sinais de e são ambos negativos. Isso significa que a raiz está no outro subintervalo, ou seja, entre e .
Então, o novo intervalo após a primeira iteração é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda iteração do método da bissecção no intervalo c2 = 2 + 52 = 3,5 .
  1. Encontrar o ponto médio: f(3,5) = e^3,5 - 4(3,5)^2 approx 33,115 - 49 = -15,885
  2. Calcular :
  3. Determinar o intervalo para a próxima iteração:
    • Como e , novamente os sinais são negativos. Então, a raiz está no intervalo .
O novo intervalo após a segunda iteração é .

Passo 4

Agora que fizemos duas iterações do método da bissecção, temos o intervalo f'(x) = e^x - 8x e o ponto médio xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Esse ponto médio será a nossa aproximação inicial para o método de Newton-Raphson.
Vamos aplicar o método de Newton-Raphson usando f(3,5) approx -15,885 e iterar até alcançar a precisão de f'(3,5) approx e^3,5 - 8(3,5) approx 33,115 - 28 = 5,115 .
Primeiro, precisamos da derivada de x1 = 3,5 - -15,8855,115 approx 3,5 + 3,103 approx 6,603 :
f(6,603) approx e^6,603 - 4(6,603)^2 approx 737,2 - 174,5 approx 562,7
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
f'(6,603) approx e^6,603 - 8(6,603) approx 737,2 - 52,82 approx 684,38
Vamos começar as iterações:
Iteração 1 ( x2 = 6,603 - 562,7684,38 approx 6,603 - 0,821 approx 5,782 ):
f(5,782) approx e^5,782 - 4(5,782)^2 approx 325,3 - 133,5 approx 191,8
f'(5,782) approx e^5,782 - 8(5,782) approx 325,3 - 46,26 approx 279,04
x3 = 5,782 - 191,8279,04 approx 5,782 - 0,688 approx 5,094
Iteração 2 ( f(5,094) approx e^5,094 - 4(5,094)^2 approx 163,3 - 103,1 approx 60,2 ):
f'(5,094) approx e^5,094 - 8(5,094) approx 163,3 - 40,75 approx 122,55
x4 = 5,094 - 60,2122,55 approx 5,094 - 0,491 approx 4,603
f(4,603) approx e^4,603 - 4(4,603)^2 approx 100,3 - 84,58 approx 15,72
Iteração 3 ( f'(4,603) approx e^4,603 - 8(4,603) approx 100,3 - 36,82 approx 63,48 ):
x5 = 4,603 - 15,7263,48 approx 4,603 - 0,247 approx 4,356
f(4,356) approx e^4,356 - 4(4,356)^2 approx 78,3 - 75,78 approx 2,52
f'(4,356) approx e^4,356 - 8(4,356) approx 78,3 - 34,85 approx 43,45
Iteração 4 ( x6 = 4,356 - 2,5243,45 approx 4,356 - 0,058 approx 4,298 ):
f(4,298) approx e^4,298 - 4(4,298)^2 approx 73,5 - 73,92 approx -0,42
f'(4,298) approx e^4,298 - 8(4,298) approx 73,5 - 34,38 approx 39,12
x7 = 4,298 - -0,4239,12 approx 4,298 + 0,011 approx 4,309
Iteração 5 ( f(4,309) approx e^4,309 - 4(4,309)^2 approx 75,1 - 74,21 approx 0,89 ):
f'(4,309) approx e^4,309 - 8(4,309) approx 75,1 - 34,47 approx 40,63
x8 = 4,309 - 0,8940,63 approx 4,309 - 0,022 approx 4,287
f(4,287) approx e^4,287 - 4(4,287)^2 approx 72,9 - 73,8 approx -0,9
Iteração 6 ( f'(4,287) approx e^4,287 - 8(4,287) approx 72,9 - 34,3 approx 38,6 ):
x9 = 4,287 - -0,938,6 approx 4,287 + 0,023 approx 4,310
f(4,310) approx e^4,310 - 4(4,310)^2 approx 74,0 - 74,1 approx -0,1
f'(4,310) approx e^4,310 - 8(4,310) approx 74,0 - 34,48 approx 39,52
Iteração 7 ( x10 = 4,310 - -0,139,52 approx 4,310 + 0,0025 approx 4,3125 ):
f(4,3125) approx e^4,3125 - 4(4,3125)^2 approx 75,3 - 74,3 approx 1,0
f'(4,3125) approx e^4,3125 - 8(4,3125) approx 75,3 - 34,5 approx 40,8
x11 = 4,3125 - 1,040,8 approx 4,3125 - 0,0245 approx 4,288
Iteração 8 ( ):
Iteração 9 ( ):
Iteração 10 ( ):
Iteração 11 ( ):
Continuamos esse processo até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

Aproximação da raiz de no intervalo com precisão usando os métodos da bissecção e de Newton-Raphson é aproximadamente .

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