Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício usando o método de Newton-Raphson para encontrar a menor raiz positiva da equação
. Esse método é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Para isso, precisamos da função
e da sua derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver e sua derivada. A função é:
Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
:
Passo 3
Escolhemos um palpite inicial próximo da raiz que estamos procurando. Observando a equação:
- Para
: (positivo) - Para
: (negativo)
Como a função muda de positivo para negativo entre
e
, sabemos que há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher
como nosso palpite inicial.
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Substituindo
:
Então:
Passo 5
Agora, fazemos a segunda iteração com
:
Calculando
e
:
Então:
Resposta
Após duas iterações pelo método de Newton-Raphson, a aproximação da menor raiz positiva da equação
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio
com 2 dígitos significativos.
Encontre uma aproximação de
com 3 dígitos significativos, reformulando o problema através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.
Considere a função
b) Considere o intervalo . Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão
.
b) Considere o intervalo
Considere o problema de resolver
via método do ponto fixo, onde
.
b) Mostre que é função de iteração de
.
b) Mostre que