Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b) 2 cos (x)-e^(2 x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício usando o método de Newton-Raphson para encontrar a menor raiz positiva da equação . Esse método é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Para isso, precisamos da função e da sua derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver e sua derivada. A função é:
f(x) = 2 cos(x) - e^2x
Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a f'(x) = ddx(2 cos(x)) - ddx(e^2x) = -2 sin(x) - 2 e^2x :

Passo 3

Escolhemos um palpite inicial próximo da raiz que estamos procurando. Observando a equação:
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
Como a função muda de positivo para negativo entre e , sabemos que há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nosso palpite inicial.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Substituindo f(0.4) = 2 cos(0.4) - e^0.8 approx 2 times 0.92106 - 2.22554 approx 1.84212 - 2.22554 = -0.38342 :
f'(0.4) = -2 sin(0.4) - 2 e^0.8 approx -2 times 0.38942 - 2 times 2.22554 approx -0.77884 - 4.45108 = -5.22992
x1 = 0.4 - -0.38342-5.22992 approx 0.4 - 0.0734 = 0.3266
Então:

Passo 5

Agora, fazemos a segunda iteração com x2 = x1 - f(x1)f'(x1) :
f(0.3266) = 2 cos(0.3266) - e^2 times 0.3266 approx 2 times 0.9472 - e^0.6532 approx 1.8944 - 1.9213 = -0.0269
Calculando f'(0.3266) = -2 sin(0.3266) - 2 e^0.6532 approx -2 times 0.3207 - 2 times 1.9213 approx -0.6414 - 3.8426 = -4.484 e x2 = 0.3266 - -0.0269-4.484 approx 0.3266 - 0.0060 = 0.3206 :
Então:

Resposta

Após duas iterações pelo método de Newton-Raphson, a aproximação da menor raiz positiva da equação é aproximadamente .

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