Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício usando o método de Newton-Raphson para encontrar a menor raiz positiva da equação . Esse método é uma técnica numérica para encontrar aproximações das raízes de uma função. Para isso, precisamos da função e da sua derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver e sua derivada. A função é:
Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a :

Passo 3

Escolhemos um palpite inicial próximo da raiz que estamos procurando. Observando a equação:
  • Para : (positivo)
  • Para : (negativo)
Como a função muda de positivo para negativo entre e , sabemos que há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nosso palpite inicial.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Substituindo :
Então:

Passo 5

Agora, fazemos a segunda iteração com :
Calculando e :
Então:

Resposta

Após duas iterações pelo método de Newton-Raphson, a aproximação da menor raiz positiva da equação é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio com 2 dígitos significativos.
Encontre uma aproximação de com 3 dígitos significativos, reformulando o problema através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.
Considere a função
b) Considere o intervalo . Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão .
Considere o problema de resolver via método do ponto fixo, onde .
b) Mostre que é função de iteração de .