Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio
com 2 dígitos significativos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio
com 2 dígitos significativos. Isso envolve entender onde a função cruza o eixo
(onde
) e aplicar o método da bissecção para afunilar esses pontos com precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar aproximadamente onde as raízes podem estar. Para isso, vamos calcular
em alguns valores de
para ver onde a função muda de sinal, indicando uma raiz.
Calculando:
Observamos mudanças de sinal entre:
-
e (de negativo para positivo) -
e (de positivo para negativo) -
e (de negativo para positivo)
Isso sugere que há raízes nesses intervalos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da bissecção em cada um desses intervalos para encontrar as raízes com 2 dígitos significativos.
O método da bissecção funciona assim:
- Escolha um intervalo
onde e têm sinais opostos. - Calcule o ponto médio
. - Avalie
. - Veja em qual subintervalo
ou ocorre a mudança de sinal e repita o processo nesse subintervalo. - Continue até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada.
Passo 4
Vamos começar com o intervalo
:
-
, -
, -
-
Como
e
, a raiz está entre
.
Passo 5
Continuando no intervalo
:
-
, -
, -
-
Como
e
, a raiz está entre
.
Passo 6
Mais uma iteração no intervalo
:
-
, -
, -
-
Como
e
, a raiz está entre
.
Passo 7
Continuando até obter 2 dígitos significativos:
-
, -
, -
-
Como
e
, a raiz está muito próxima de
.
Passo 8
Aproximando ainda mais:
-
, -
, -
-
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Com 2 dígitos significativos, a raiz nessa região é aproximadamente
.
Passo 9
Repetindo o processo para os outros intervalos onde houve mudança de sinal:
Intervalo [0, 1]:
-
, - Aplicando a bissecção, determinamos que a raiz está aproximadamente em
.
Intervalo [1, 2]:
-
, - Aplicando a bissecção, determinamos que a raiz está aproximadamente em
.
Resposta
As raízes reais do polinômio
são aproximadamente:
Exercícios relacionados
Encontre uma aproximação de
com 3 dígitos significativos, reformulando o problema através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.
c) Qual o número mínimo de iterações
que será realizado pelo algoritmo do método da bissecção para que o erro seja menor que
iniciando as iterações no intervalo
?
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)
b)
Considere a função
b) Considere o intervalo . Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão
.
b) Considere o intervalo