Use o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio com 2 dígitos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o método da bissecção para encontrar todas as raízes reais do polinômio com 2 dígitos significativos. Isso envolve entender onde a função cruza o eixo (onde ) e aplicar o método da bissecção para afunilar esses pontos com precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar aproximadamente onde as raízes podem estar. Para isso, vamos calcular em alguns valores de para ver onde a função muda de sinal, indicando uma raiz.
Calculando:
Observamos mudanças de sinal entre:
  • e (de negativo para positivo)
  • e (de positivo para negativo)
  • e (de negativo para positivo)
Isso sugere que há raízes nesses intervalos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção em cada um desses intervalos para encontrar as raízes com 2 dígitos significativos.
O método da bissecção funciona assim:
  1. Escolha um intervalo onde e têm sinais opostos.
  2. Calcule o ponto médio .
  3. Avalie .
  4. Veja em qual subintervalo ou ocorre a mudança de sinal e repita o processo nesse subintervalo.
  5. Continue até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada.

Passo 4

Vamos começar com o intervalo :
  1. ,
  2. ,
Como e , a raiz está entre .

Passo 5

Continuando no intervalo :
  1. ,
  2. ,
Como e , a raiz está entre .

Passo 6

Mais uma iteração no intervalo :
  1. ,
  2. ,
Como e , a raiz está entre .

Passo 7

Continuando até obter 2 dígitos significativos:
  1. ,
  2. ,
Como e , a raiz está muito próxima de .

Passo 8

Aproximando ainda mais:
  1. ,
  2. ,
Como e , a raiz está entre e .
Com 2 dígitos significativos, a raiz nessa região é aproximadamente .

Passo 9

Repetindo o processo para os outros intervalos onde houve mudança de sinal:
Intervalo [0, 1]:
  1. ,
  2. Aplicando a bissecção, determinamos que a raiz está aproximadamente em .
Intervalo [1, 2]:
  1. ,
  2. Aplicando a bissecção, determinamos que a raiz está aproximadamente em .

Resposta

As raízes reais do polinômio são aproximadamente:

Exercícios relacionados

Encontre uma aproximação de com 3 dígitos significativos, reformulando o problema através de uma equação apropriada e resolvendo-o via o método da bissecção.
c) Qual o número mínimo de iterações que será realizado pelo algoritmo do método da bissecção para que o erro seja menor que iniciando as iterações no intervalo ?
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir (faça duas iterações para obter cada uma das aproximações).
b)
Considere a função
b) Considere o intervalo . Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão .