Considere o problema de resolver via método do ponto fixo, onde .
c) Calcule e analise .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação usando o método do ponto fixo, onde . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de , que é a função que vamos usar no método do ponto fixo, e analisar o valor absoluto dessa derivada, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como escolher e depois aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação na forma . Isso significa que vamos isolar em um dos lados da equação. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para:
Assim, identificamos que:

Passo 3

Agora que temos , vamos calcular a derivada dessa função em relação a . A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta, e no método do ponto fixo, ela é essencial para garantir que o método vai convergir.
A função tem duas partes: uma constante e a função exponencial . A derivada de uma constante �� zero, e a derivada de é:
Então, a derivada completa de é:

Passo 4

Agora, vamos analisar o valor absoluto da derivada . Isso é importante porque, para o método do ponto fixo convergir, precisamos que no intervalo considerado.
Sabemos que é sempre positivo e que diminui conforme aumenta. Portanto:
Como para todo , o valor absoluto é simplesmente . Além disso, sabemos que:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Isso significa que somente quando .

Resposta

A derivada de é e o valor absoluto dessa derivada é .

Exercícios relacionados

Considere o problema de resolver via método do ponto fixo, onde .
b) Mostre que é função de iteração de .
Considere a função
b) Considere o intervalo . Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton-Raphson. Aplique o método NR até atingir precisão .
Resolva fatorando a matriz associada ao sistema como .
Considere o sistema linear , onde e são dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule posto de , posto de , diga quantas soluções o sistema possui e exiba o conjunto de todas as soluções.
d) e .