Considere o problema de resolver via método do ponto fixo, onde .
c) Calcule e analise .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação usando o método do ponto fixo, onde . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de , que é a função que vamos usar no método do ponto fixo, e analisar o valor absoluto dessa derivada, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como escolher e depois aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação na forma . Isso significa que vamos isolar em um dos lados da equação. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para:
Assim, identificamos que:
Passo 3
Agora que temos , vamos calcular a derivada dessa função em relação a . A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta, e no método do ponto fixo, ela é essencial para garantir que o método vai convergir.
A função tem duas partes: uma constante e a função exponencial . A derivada de uma constante �� zero, e a derivada de é:
Então, a derivada completa de é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o valor absoluto da derivada . Isso é importante porque, para o método do ponto fixo convergir, precisamos que no intervalo considerado.
Sabemos que é sempre positivo e que diminui conforme aumenta. Portanto:
Como para todo , o valor absoluto é simplesmente . Além disso, sabemos que:
Para :
Para :
Para :
Isso significa que somente quando .
Resposta
A derivada de é e o valor absoluto dessa derivada é .