Considere o problema de resolver f(x)=0 via método do ponto fixo, onde f(x)=e^-x+x-2.
c) Calcule varphi^prime e analise |varphi^prime(x)|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação usando o método do ponto fixo, onde . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de , que é a função que vamos usar no método do ponto fixo, e analisar o valor absoluto dessa derivada, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como escolher e depois aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação e^-x + x - 2 = 0 na forma x = 2 - e^-x . Isso significa que vamos isolar varphi(x) = 2 - e^-x em um dos lados da equação. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para:
Assim, identificamos que:

Passo 3

Agora que temos ddx(-e^-x) = e^-x , vamos calcular a derivada dessa função em relação a varphi'(x) = e^-x . A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta, e no método do ponto fixo, ela é essencial para garantir que o método vai convergir.
A função tem duas partes: uma constante e a função exponencial . A derivada de uma constante �� zero, e a derivada de é:
Então, a derivada completa de é:

Passo 4

Agora, vamos analisar o valor absoluto da derivada |varphi'(x)| = |e^-x| = e^-x . Isso é importante porque, para o método do ponto fixo convergir, precisamos que no intervalo considerado.
Sabemos que é sempre positivo e que diminui conforme aumenta. Portanto:
Como para todo , o valor absoluto é simplesmente . Além disso, sabemos que:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Isso significa que somente quando .

Resposta

A derivada de é e o valor absoluto dessa derivada é .

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