Considere o problema de resolver
via método do ponto fixo, onde
.
c) Calcule
e analise
.
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação
usando o método do ponto fixo, onde
. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de
, que é a função que vamos usar no método do ponto fixo, e analisar o valor absoluto dessa derivada, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como escolher
e depois aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação
na forma
. Isso significa que vamos isolar
em um dos lados da equação. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para:
Assim, identificamos que:
Passo 3
Agora que temos
, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta, e no método do ponto fixo, ela é essencial para garantir que o método vai convergir.
A função
tem duas partes: uma constante
e a função exponencial
. A derivada de uma constante �� zero, e a derivada de
é:
Então, a derivada completa de
é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o valor absoluto da derivada
. Isso é importante porque, para o método do ponto fixo convergir, precisamos que
no intervalo considerado.
Sabemos que
é sempre positivo e que diminui conforme
aumenta. Portanto:
Como
para todo
, o valor absoluto é simplesmente
. Além disso, sabemos que:
- Para
: - Para
: - Para
:
Isso significa que
somente quando
.
Resposta
A derivada de
é
e o valor absoluto dessa derivada é
.