Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Isso está ligado ao tema de cálculo integral, especificamente à integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e como manipular integrais para chegar na relação de recorrência .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher o que será e . Uma boa escolha é deixar e , porque derivar facilita e integrar é simples.
Passo 3
Agora, vamos derivar e integrar :
Com isso, substituímos na fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
Calculando x^n e^x |0^1 = 1^n e^1 - 0^n e^0 = e - 0 = e nos limites:
In = e^-1 [ e - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ] = 1 - n e^-1 integral0^1 x^n-1 e^x dx
Substituindo de volta:
In = 1 - n In-1
Observamos que . Então:
Resposta
A relação de recorrência é para
Interpretação
Essa relação nos mostra que podemos calcular sabendo o valor de . Ou seja, se conhecemos a integral para um grau menor de , conseguimos encontrar para o próximo grau de forma fácil, facilitando o cálculo de integrais mais complexas de maneira iterativa.