Integre por partes a integral a abaixo para
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x d x
para obter a relação de recorrência
In=1-n In-1, n=1,2, ldots
(d) Interprete seus resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Isso está ligado ao tema de cálculo integral, especificamente à integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e como manipular integrais para chegar na relação de recorrência .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e . Uma boa escolha é deixar e , porque derivar facilita e integrar é simples.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = x^n implies du = n x^n-1 dx e integrar dv = e^x dx implies v = e^x :
integral x^n e^x dx = x^n e^x - integral e^x cdot n x^n-1 dx
integral x^n e^x dx = x^n e^x - n integral x^n-1 e^x dx
Com isso, substituímos na fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
In = e^-1 [ x^n e^x |0^1 - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ]
Calculando x^n e^x |0^1 = 1^n e^1 - 0^n e^0 = e - 0 = e nos limites:
In = e^-1 [ e - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ] = 1 - n e^-1 integral0^1 x^n-1 e^x dx
Substituindo de volta:
In = 1 - n In-1
Observamos que . Então:

Resposta

A relação de recorrência é para

Interpretação

Essa relação nos mostra que podemos calcular sabendo o valor de . Ou seja, se conhecemos a integral para um grau menor de , conseguimos encontrar para o próximo grau de forma fácil, facilitando o cálculo de integrais mais complexas de maneira iterativa.

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