Considere a função . Encontre o polinômio de Taylor de ordem dois para a função em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem dois, chamado de , para a função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio de grau 2 que melhor representa próximo de zero. Para isso, vamos precisar calcular os valores da função e suas derivadas até a segunda ordem no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que é o produto de e :
Sabemos que:
Então:
Agora, avaliamos a primeira derivada em :
Portanto, .

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada da função . Continuando com a derivada que encontramos:
Aplicamos novamente a regra do produto para derivar :
Sabendo que:
Então:
Simplificando:
Agora, avaliamos a segunda derivada em :
Portanto, .

Resposta

Com os valores calculados, o polinômio de Taylor de ordem dois para em torno de é:

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