Considere a função f(x)=e^x cos (x). Encontre o polinômio de Taylor de ordem dois P2 para a função f em torno de x0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem dois, chamado de , para a função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio de grau 2 que melhor representa próximo de zero. Para isso, vamos precisar calcular os valores da função e suas derivadas até a segunda ordem no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto f(0) = e^0 cos(0) = 1 times 1 = 1 :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função f'(x) = ddx ( e^x ) cos(x) + e^x ddx ( cos(x) ) . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que ddx e^x = e^x é o produto de ddx cos(x) = -sin(x) e f'(x) = e^x cos(x) - e^x sin(x) = e^x (cos(x) - sin(x)) :
f'(0) = e^0 (cos(0) - sin(0)) = 1 (1 - 0) = 1
Sabemos que:
Então:
Agora, avaliamos a primeira derivada em :
Portanto, .

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada da função f'(x) = e^x (cos(x) - sin(x)) . Continuando com a derivada que encontramos:
f''(x) = ddx ( e^x ) (cos(x) - sin(x)) + e^x ddx ( cos(x) - sin(x) )
Aplicamos novamente a regra do produto para derivar ddx e^x = e^x :
ddx (cos(x) - sin(x)) = -sin(x) - cos(x)
Sabendo que:
f''(x) = e^x (cos(x) - sin(x)) + e^x (-sin(x) - cos(x))
f''(x) = e^x (cos(x) - sin(x) - sin(x) - cos(x)) = e^x (-2 sin(x))
Então:
f''(0) = e^0 (-2 sin(0)) = 1 times 0 = 0
Simplificando:
Agora, avaliamos a segunda derivada em :
Portanto, .

Resposta

Com os valores calculados, o polinômio de Taylor de ordem dois para P2(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2 = 1 + 1 cdot x + 02x^2 = 1 + x em torno de é:

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