Considere a função
. Encontre o polinômio de Taylor de ordem dois
para a função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem dois, chamado de
, para a função
em torno de
. Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio de grau 2 que melhor representa
próximo de zero. Para isso, vamos precisar calcular os valores da função e suas derivadas até a segunda ordem no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função
. Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que
é o produto de
e
:
Sabemos que:
Então:
Agora, avaliamos a primeira derivada em
:
Portanto,
.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada da função
. Continuando com a derivada que encontramos:
Aplicamos novamente a regra do produto para derivar
:
Sabendo que:
Então:
Simplificando:
Agora, avaliamos a segunda derivada em
:
Portanto,
.
Resposta
Com os valores calculados, o polinômio de Taylor de ordem dois para
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.
Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.
Determine o número de iterações necessárias para resolver a equação
com uma precisão de
, utilizando
e
.
Considere a função
. Mostre que, para todo
, temos
.