Encontre o polinômio de Taylor de ordem em torno de para cada função abaixo. .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de polinômio de Taylor. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem para a função centrado em . Para isso, vamos precisar entender o conceito de polinômio de Taylor e como aplicá-lo a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto . A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem é:

Passo 3

No nosso caso, , então o polinômio de Taylor simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular para cada ordem até . Sabemos que:
Isso é uma série geométrica com razão , válida para .

Passo 5

Observando a expansão, vemos que os coeficientes do polinômio de Taylor são todos iguais a 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem é a soma dos termos até :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem para em torno de é:

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Encontre o polinômio de Taylor de ordem em torno de para cada função abaixo. .
Considere a função . Encontre o polinômio de Taylor de ordem dois para a função em torno de .