Encontre o polinômio de Taylor de ordem n em torno de x0 para cada função abaixo. f(x)=11-x, x0=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de polinômio de Taylor. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem n para a função f(x)=11-x centrado em x0=0. Para isso, vamos precisar entender o conceito de polinômio de Taylor e como aplicá-lo a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto x0. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n é:
Pn(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + dots + f^(n)(x0)n!(x - x0)^n

Passo 3

No nosso caso, x0 = 0, então o polinômio de Taylor simplifica para:
Pn(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + dots + f^(n)(0)n!x^n

Passo 4

Vamos calcular f^(k)(0) para cada ordem k até n. Sabemos que:
f(x) = 11 - x = 1 + x + x^2 + x^3 + dots
Isso é uma série geométrica com razão x, válida para |x| < 1.

Passo 5

Observando a expansão, vemos que os coeficientes do polinômio de Taylor são todos iguais a 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem n é a soma dos termos até x^n:
Pn(x) = 1 + x + x^2 + dots + x^n

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem n para f(x)=11-x em torno de x0=0 é:
Pn(x) = 1 + x + x^2 + dots + x^n

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