Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de polinômio de Taylor. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem
para a função
centrado em
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de polinômio de Taylor e como aplicá-lo a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem
é:
Passo 3
No nosso caso,
, então o polinômio de Taylor simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular
para cada ordem
até
. Sabemos que:
Isso é uma série geométrica com razão
, válida para
.
Passo 5
Observando a expansão, vemos que os coeficientes do polinômio de Taylor são todos iguais a 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem
é a soma dos termos até
:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem
para
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Seja uma função
tal que
. Determine o polinômio quadrático de Taylor de
em torno de
, sabendo que a reta tangente ao gráfico de
em
é
e que
.
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.
Considere a função
. Encontre o polinômio de Taylor de ordem dois
para a função
em torno de
.