Considere a função f(x)=e^x cos (x). Mostre que, para todo x in R, temos |f^prime prime prime(x)| <= 4 e^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função e mostrar que a terceira derivada dela sempre tem valor absoluto menor ou igual a para qualquer número real . Isso envolve a matéria de derivadas, especificamente derivadas de funções compostas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar funções que são produtos de duas outras funções. Aqui, temos e . A regra do produto nos diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de f'(x) = ddx(e^x cos(x)) = e^x cos(x) + e^x (-sin(x)) = e^x (cos(x) - sin(x)) :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada f''(x) = ddx(e^x (cos(x) - sin(x))) = e^x (cos(x) - sin(x)) + e^x (-sin(x) - cos(x)) = e^x (cos(x) - sin(x) - sin(x) - cos(x)) = -2e^x sin(x) . Aplicamos a regra do produto novamente:

Passo 5

Seguimos para a terceira derivada f'''(x) = ddx(-2e^x sin(x)) = -2e^x sin(x) - 2e^x cos(x) = -2e^x (sin(x) + cos(x)) :

Passo 6

Agora, queremos o valor absoluto de |f'''(x)| = | -2e^x (sin(x) + cos(x)) | = 2e^x |sin(x) + cos(x)| :

Passo 7

Vamos encontrar o máximo de |sin(x) + cos(x)| <= |sin(x)| + |cos(x)| <= 1 + 1 = 2 . Sabemos que:
|f'''(x)| <= 2e^x cdot 2 = 4e^x
Portanto,

Resposta

Concluímos que para todo , .

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