Considere a função
. Mostre que, para todo
, temos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função
e mostrar que a terceira derivada dela sempre tem valor absoluto menor ou igual a
para qualquer número real
. Isso envolve a matéria de derivadas, especificamente derivadas de funções compostas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar funções que são produtos de duas outras funções. Aqui, temos
e
. A regra do produto nos diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada
. Aplicamos a regra do produto novamente:
Passo 5
Seguimos para a terceira derivada
:
Passo 6
Agora, queremos o valor absoluto de
:
Passo 7
Vamos encontrar o máximo de
. Sabemos que:
Portanto,
Resposta
Concluímos que para todo
,
.