Determine o número de iterações necessárias para resolver a equação x^3+4 x^2-10=0 com uma precisão de 10^-3, utilizando a0=1 e b0=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a equação usando um método de iteração, começando com e , e queremos chegar a uma precisão de . Para isso, vamos usar o método da bisseção. Esse método é ótimo para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o método da bisseção funciona. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual das metades a função muda de sinal. A metade onde ocorre a mudança de sinal contém a raiz que estamos procurando. Repetimos esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor que a precisão desejada .

Passo 3

A quantidade de iterações necessárias para atingir uma precisão específica pode ser calculada usando a fórmula:
n >= log(b0 - a0) - log(varepsilon)log(2)
Aqui, é o tamanho inicial do intervalo, e é a precisão desejada.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
n >= log(2 - 1) - log(10^-3)log(2) = log(1) - (-3)log(2) = 0 + 3log(2)
Lembrando que e .

Passo 5

Agora, calculamos os valores:
n >= 3log(2) approx 30,3010 approx 9,97
Como não podemos ter uma fração de iteração, arredondamos para cima.

Resposta

São necessárias 10 iterações para resolver a equação com a precisão de usando o método da bisseção com e .

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