Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem
para a função
em torno de
. Isso significa que vamos aproximar a função
por um polinômio que seja uma boa aproximação perto de
. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas da função
até a ordem
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de
:
Ou, de forma mais compacta:
Então, precisamos calcular as derivadas de
até a ordem
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Avaliada em
:
Passo 4
Agora, a segunda derivada:
Avaliada em
:
Passo 5
Vamos para a terceira derivada:
Avaliada em
:
Passo 6
Seguindo esse padrão, podemos notar que as derivadas de ordem
para
seguem a fórmula:
Onde
é o fatorial duplo.
Avaliada em
, essa expressão simplifica para:
Passo 7
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo
:
Isso nos dá o polinômio de Taylor de ordem
para
em torno de
.
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem
para a função
em torno de
é dado por: