Encontre o polinômio de Taylor de ordem n em torno de x0 para cada função abaixo. f(x)=raizx, x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem para a função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que seja uma boa aproximação perto de . Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas da função até a ordem em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do polinômio de Taylor de ordem Pn(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + dots + f^(n)(x0)n!(x - x0)^n para uma função Pn(x) = sumk=0^n f^(k)(x0)k! (x - x0)^k em torno de :
Ou, de forma mais compacta:
Então, precisamos calcular as derivadas de até a ordem no ponto .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de f'(x) = 12raizx :
f'(1) = 12raiz1 = 12
Avaliada em :

Passo 4

Agora, a segunda derivada:
f''(x) = -14x^3/2
Avaliada em f''(1) = -14(1)^3/2 = -14 :

Passo 5

Vamos para a terceira derivada:
f'''(x) = 38x^5/2
Avaliada em f'''(1) = 38(1)^5/2 = 38 :

Passo 6

Seguindo esse padrão, podemos notar que as derivadas de ordem f^(k)(x) = (-1)^k+1 (2k - 3)!!2^k x^(2k-1)/2 para f^(k)(1) = (-1)^k+1 (2k - 3)!!2^k seguem a fórmula:
Onde é o fatorial duplo.
Avaliada em , essa expressão simplifica para:

Passo 7

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do polinômio de Taylor:
Pn(x) = sumk=0^n f^(k)(1)k! (x - 1)^k
Substituindo Pn(x) = sumk=0^n (-1)^k+1 (2k - 3)!!2^k k! (x - 1)^k :
Isso nos dá o polinômio de Taylor de ordem para em torno de .

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem Pn(x) = sumk=0^n (-1)^k+1 (2k - 3)!!2^k k! (x - 1)^k para a função em torno de é dado por:

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