Considere a função
. Obtenha um limitante superior para o erro absoluto cometido ao utilizar
para calcular o valor aproximado de
.
Atenção: Para calcular os valores de
, programe sua calculadora para que
seja medido em radianos.
Atenção: Para calcular os valores de
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos usar o polinômio de Taylor de grau 2, chamado
, para aproximar o valor de
. Nosso objetivo é encontrar um limite máximo para o erro absoluto dessa aproximação. Para isso, vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e a fórmula de erro de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio de Taylor
para a função
em torno de
. Isso significa que vamos usar as derivadas de
avaliadas em 0 até a segunda ordem.
A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, podemos montar o polinômio
:
Passo 5
Para encontrar o limite superior do erro absoluto, usamos a fórmula do resto de Lagrange:
onde
é o valor máximo da terceira derivada
no intervalo entre 0 e 0.5.
Passo 6
Vamos calcular a terceira derivada
:
Para encontrar o valor máximo de
no intervalo [0, 0.5], observamos que em
:
Então,
Calculando
,
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do resto:
Resposta
O limite superior para o erro absoluto cometido ao usar
para calcular
é aproximadamente 0,1374.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Mostre que, para todo
, temos
.
Determine o número de iterações necessárias para resolver a equação
com uma precisão de
, utilizando
e
.
Seja a função
. Encontre o polinômio de Taylor de ordem três
para a função
em torno de
.
Seja a função
. Determine um limitante superior para o erro absoluto
cometido ao usar
para aproximar
no intervalo
.