Considere a função f(x)=e^x cos (x). Obtenha um limitante superior para o erro absoluto cometido ao utilizar P2 para calcular o valor aproximado de f(0.5).
Atenção: Para calcular os valores de cos (x), programe sua calculadora para que x seja medido em radianos.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem a função e precisamos usar o polinômio de Taylor de grau 2, chamado , para aproximar o valor de . Nosso objetivo é encontrar um limite máximo para o erro absoluto dessa aproximação. Para isso, vamos usar conceitos de polinômios de Taylor e a fórmula de erro de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio de Taylor P2(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2 para a função em torno de . Isso significa que vamos usar as derivadas de avaliadas em 0 até a segunda ordem.
A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. Primeira derivada:
f'(x) = e^x cos(x) - e^x sin(x) = e^x (cos(x) - sin(x))
f'(0) = e^0 (cos(0) - sin(0)) = 1 (1 - 0) = 1
  1. Segunda derivada:
f''(x) = e^x (cos(x) - sin(x))' = e^x (-sin(x) - cos(x)) + e^x (cos(x) - sin(x)) = e^x (-2sin(x))
f''(0) = e^0 (-2sin(0)) = 1 times 0 = 0

Passo 4

Agora que temos P2(x) = 1 + 1 cdot x + 02x^2 = 1 + x , e , podemos montar o polinômio :

Passo 5

Para encontrar o limite superior do erro absoluto, usamos a fórmula do resto de Lagrange:
|R2(x)| <= M |x|^33!
onde é o valor máximo da terceira derivada no intervalo entre 0 e 0.5.

Passo 6

Vamos calcular a terceira derivada f'''(x) = ddx [ e^x (-2sin(x)) ] = e^x (-2sin(x)) + e^x (-2cos(x)) = -2e^x (sin(x) + cos(x)) :
|sin(x) + cos(x)| <= |sin(x)| + |cos(x)| <= 1 + 1 = 2
Para encontrar o valor máximo de |f'''(x)| <= 2e^x times 2 = 4e^x <= 4e^0.5 no intervalo [0, 0.5], observamos que em M <= 4 times 1.6487 approx 6.5948 :
Então,
Calculando ,

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do resto:
|R2(0.5)| <= 6.5948 times (0.5)^36 = 6.5948 times 0.1256 = 0.824356 approx 0.1374

Resposta

O limite superior para o erro absoluto cometido ao usar para calcular é aproximadamente 0,1374.

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