Seja a função
. Encontre o polinômio de Taylor de ordem três
para a função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem três, ou seja,
, dessa função em torno de
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por meio de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma soma de termos que envolvem as derivadas da função avaliadas em um ponto específico, no nosso caso,
. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem
é:
Como precisamos de
, vamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliá-las em
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
e suas derivadas:
Agora, a primeira derivada usando a regra do produto:
Simplificando
:
Passo 4
Vamos achar a segunda derivada
:
Passo 5
Agora, a terceira derivada
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las em
:
Passo 7
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor
usando as derivadas que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem três para a função
em torno de
é: