Seja a função f(x)=(x-1) ln (x). Encontre o polinômio de Taylor de ordem três P3(x) para a função f em torno de x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem três, ou seja, , dessa função em torno de . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por meio de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma soma de termos que envolvem as derivadas da função avaliadas em um ponto específico, no nosso caso, Pn(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + cdots + f^(n)(x0)n!(x - x0)^n . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem é:
Como precisamos de , vamos calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliá-las em .

Passo 3

Vamos começar encontrando f(x) = (x - 1) ln(x) e suas derivadas:
f'(x) = ln(x) cdot ddx(x - 1) + (x - 1) cdot ddx ln(x) = ln(x) cdot 1 + (x - 1) cdot 1x = ln(x) + x - 1x
Agora, a primeira derivada usando a regra do produto:
f'(x) = ln(x) + 1 - 1x
Simplificando :

Passo 4

Vamos achar a segunda derivada f''(x) = ddx ( ln(x) + 1 - 1x ) = 1x + 0 + 1x^2 = 1x + 1x^2 :

Passo 5

Agora, a terceira derivada f'''(x) = ddx ( 1x + 1x^2 ) = -1x^2 - 2x^3 :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las em f(1) = (1 - 1) ln(1) = 0 cdot 0 = 0 :
f'(1) = ln(1) + 1 - 11 = 0 + 1 - 1 = 0
f''(1) = 11 + 11^2 = 1 + 1 = 2
f'''(1) = -11^2 - 21^3 = -1 - 2 = -3

Passo 7

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor P3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)2!(x - 1)^2 + f'''(1)3!(x - 1)^3 usando as derivadas que calculamos:
P3(x) = 0 + 0 cdot (x - 1) + 22(x - 1)^2 + -36(x - 1)^3
Substituindo os valores:
P3(x) = (x - 1)^2 - 12(x - 1)^3
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem três para a função P3(x) = (x - 1)^2 - 12(x - 1)^3 em torno de é:

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