Seja a função f(x)=(x-1) ln (x). Determine um limitante superior para o erro absoluto |f(x)-P3(x)| cometido ao usar P3(x) para aproximar f(x) no intervalo [0.5,1.5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar um limitante superior para o erro absoluto , onde é o polinômio de Taylor de grau 3 que aproxima no intervalo .
Pra isso, vamos usar o Teorema de Taylor com o Resto de Lagrange. Esse teorema nos ajuda a estimar o erro quando aproximamos uma função por um polinômio de Taylor. Vamos precisar calcular a derivada de ordem 4 da função e encontrar um valor máximo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o erro do polinômio de Taylor de grau Rn(x) = f^(n+1)(c)(n+1)!(x - a)^n+1 é dado por:
Onde:
  • é a derivada de ordem de avaliada em algum ponto no intervalo.
  • é o ponto onde o polinômio de Taylor é centrado.
  • é o grau do polinômio.
No nosso caso, , então precisamos da quarta derivada de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f'(x) = ln(x) + x - 1x = ln(x) + 1 - 1x até a quarta ordem.
Primeira derivada:
f''(x) = 1x + 1x^2
Segunda derivada:
f'''(x) = -1x^2 - 2x^3
Terceira derivada:
f''''(x) = 2x^3 + 6x^4
Quarta derivada:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor máximo de |f''''(x)| = | 2x^3 + 6x^4 | no intervalo f''''(x) = 2x^3 + 6x^4 .
Vamos analisar a expressão:
f''''(0.5) = 2(0.5)^3 + 6(0.5)^4 = 20.125 + 60.0625 = 16 + 96 = 112
Como está entre 0.5 e 1.5, todas as partes dessa expressão são positivas, então podemos remover o valor absoluto:
Para encontrar o máximo, observamos que, conforme diminui, aumenta. Portanto, o máximo ocorre em .
Calculando:

Passo 5

Agora que temos o máximo de |R3(x)| <= M4! |x - a|^4 no intervalo, podemos usar o Teorema de Taylor para estimar o erro.
A fórmula do erro é:
|R3(x)| <= 11224 (0.5)^4 = 11224 times 0.0625
Onde:
  • é o ponto de expansão. Geralmente, escolhemos um ponto conveniente, como .
Vamos calcular para o pior caso no intervalo, ou seja, (já que varia de 0.5 a 1.5).
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Fazendo as contas:
11224 = 46667
46667 times 0.0625 = 0.291666
Podemos arredondar para duas casas decimais:
|R3(x)| <= 0.29

Resposta

Um limitante superior para o erro absoluto é .

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