Seja a função . Determine um limitante superior para o erro absoluto cometido ao usar para aproximar no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar um limitante superior para o erro absoluto , onde é o polinômio de Taylor de grau 3 que aproxima no intervalo .
Pra isso, vamos usar o Teorema de Taylor com o Resto de Lagrange. Esse teorema nos ajuda a estimar o erro quando aproximamos uma função por um polinômio de Taylor. Vamos precisar calcular a derivada de ordem 4 da função e encontrar um valor máximo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o erro do polinômio de Taylor de grau é dado por:
Onde:
é a derivada de ordem de avaliada em algum ponto no intervalo.
é o ponto onde o polinômio de Taylor é centrado.
é o grau do polinômio.
No nosso caso, , então precisamos da quarta derivada de .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo .
Vamos analisar a expressão:
Como está entre 0.5 e 1.5, todas as partes dessa expressão são positivas, então podemos remover o valor absoluto:
Para encontrar o máximo, observamos que, conforme diminui, aumenta. Portanto, o máximo ocorre em .
Calculando:
Passo 5
Agora que temos o máximo de |R3(x)| <= M4! |x - a|^4 no intervalo, podemos usar o Teorema de Taylor para estimar o erro.
A fórmula do erro é:
|R3(x)| <= 11224 (0.5)^4 = 11224 times 0.0625
Onde:
é o ponto de expansão. Geralmente, escolhemos um ponto conveniente, como .
Vamos calcular para o pior caso no intervalo, ou seja, (já que varia de 0.5 a 1.5).