Mostre que, se e , então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos na reta: e a distância entre e é igual à distância entre e . Queremos mostrar como construir dois tipos de interpolantes — um linear e outro quadrático — que passam por esses pontos quando está entre e . Para isso, vamos precisar entender o que são interpolantes lineares e quadráticos e como aplicá-los usando essas condições.

Passo 2

a) Interpolante Linear
Primeiro, vamos falar sobre o interpolante linear. Basicamente, ele conecta dois pontos com uma reta. No nosso caso, vamos usar os pontos e .
A fórmula geral para o interpolante linear entre esses pontos é:
onde é chamado de parâmetro de interpolação e é dado por:
Esse nos diz onde está entre e . Por exemplo, se está exatamente no meio, , e assim por diante.

Passo 3

b) Interpolante Quadrático
Agora, vamos para o interpolante quadrático. Esse tipo de interpolante usa três pontos para formar uma parábola que passa por eles. No nosso caso, usamos , e .
A fórmula para o interpolante quadrático é:
Aqui, a segunda parte da fórmula ajusta o interpolante linear para se tornar uma parábola que também passa pelo terceiro ponto . O termo ajuda a garantir que a curva se ajuste corretamente aos três pontos.

Resposta

a) O interpolante linear é dado por
b) O interpolante quadrático é dado por

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Considere a função dada pela tabela:
0 1 2 3
0 0 0 0
e o polinômio dado por .
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de sobre os pontos ? Justifique.
Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;