Mostre que, se
e
, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
a) O interpolante linear pode ser escrito como
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos na reta:
e a distância entre
e
é igual à distância entre
e
. Queremos mostrar como construir dois tipos de interpolantes — um linear e outro quadrático — que passam por esses pontos quando
está entre
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são interpolantes lineares e quadráticos e como aplicá-los usando essas condições.
Passo 2
a) Interpolante Linear
Primeiro, vamos falar sobre o interpolante linear. Basicamente, ele conecta dois pontos com uma reta. No nosso caso, vamos usar os pontos
e
.
A fórmula geral para o interpolante linear entre esses pontos é:
onde
é chamado de parâmetro de interpolação e é dado por:
Esse
nos diz onde
está entre
e
. Por exemplo, se
está exatamente no meio,
, e assim por diante.
Passo 3
b) Interpolante Quadrático
Agora, vamos para o interpolante quadrático. Esse tipo de interpolante usa três pontos para formar uma parábola que passa por eles. No nosso caso, usamos
,
e
.
A fórmula para o interpolante quadrático é:
Aqui, a segunda parte da fórmula ajusta o interpolante linear
para se tornar uma parábola que também passa pelo terceiro ponto
. O termo
ajuda a garantir que a curva se ajuste corretamente aos três pontos.
Resposta
a) O interpolante linear é dado por
b) O interpolante quadrático é dado por