Mostre que, se x0 e x0, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
P1(x)=y0+mu(y1-y0), mu=x-x0x1-x0
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
P2(x)=P1(x)+mu(mu-1)2[(y2-y1)-(y1-y0)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos na reta: e a distância entre e é igual à distância entre e . Queremos mostrar como construir dois tipos de interpolantes — um linear e outro quadrático — que passam por esses pontos quando está entre e . Para isso, vamos precisar entender o que são interpolantes lineares e quadráticos e como aplicá-los usando essas condições.

Passo 2

a) Interpolante Linear
Primeiro, vamos falar sobre o interpolante linear. Basicamente, ele conecta dois pontos com uma reta. No nosso caso, vamos usar os pontos P1(x) = y0 + mu (y1 - y0) e mu = x - x0x1 - x0 .
A fórmula geral para o interpolante linear entre esses pontos é:
onde é chamado de parâmetro de interpolação e é dado por:
Esse nos diz onde está entre e . Por exemplo, se está exatamente no meio, , e assim por diante.

Passo 3

b) Interpolante Quadrático
Agora, vamos para o interpolante quadrático. Esse tipo de interpolante usa três pontos para formar uma parábola que passa por eles. No nosso caso, usamos P2(x) = P1(x) + mu (mu - 1)2 [ (y2 - y1) - (y1 - y0) ] , e .
A fórmula para o interpolante quadrático é:
Aqui, a segunda parte da fórmula ajusta o interpolante linear para se tornar uma parábola que também passa pelo terceiro ponto . O termo ajuda a garantir que a curva se ajuste corretamente aos três pontos.

Resposta

a) O interpolante linear é dado por
P1(x) = y0 + mu (y1 - y0), mu = x - x0x1 - x0
b) O interpolante quadrático é dado por
P2(x) = P1(x) + mu (mu - 1)2 [ (y2 - y1) - (y1 - y0) ]

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