Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o método da Bissecção. Essa função envolve conceitos de cálculo, como funções contínuas e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal, aplicar o método da Bissecção repetidamente até alcançar a precisão desejada ( ) e calcular o número de iterações necessárias para obter a raiz com 6 casas decimais de aproximação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Como e , a função muda de negativo para positivo nesse intervalo . Portanto, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0.1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada .
A fórmula para calcular o número mínimo de iterações necessárias é:
Onde:
  • é a largura inicial do intervalo.
  • é a precisão desejada.

Passo 4

Vamos calcular o número de iterações necessárias usando a fórmula mencionada:
Calculando:
Como não podemos ter uma fração de iteração, arredondamos para cima:

Resposta

Para encontrar a raiz da função usando o método da Bissecção com , são necessárias 20 iterações.

Exercícios relacionados

Mostre que, se e , então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Considere a função dada pela tabela:
0 1 2 3
0 0 0 0
e o polinômio dado por .
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de sobre os pontos ? Justifique.
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para ;