Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função
usando o método da Bissecção. Essa função envolve conceitos de cálculo, como funções contínuas e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal, aplicar o método da Bissecção repetidamente até alcançar a precisão desejada (
) e calcular o número de iterações necessárias para obter a raiz com 6 casas decimais de aproximação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores de
:
- Para
: - Para
:
Como
e
, a função muda de negativo para positivo nesse intervalo
. Portanto, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0.1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo
ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada
.
A fórmula para calcular o número mínimo de iterações necessárias é:
Onde:
-
é a largura inicial do intervalo. -
é a precisão desejada.
Passo 4
Vamos calcular o número de iterações necessárias usando a fórmula mencionada:
Calculando:
Como não podemos ter uma fração de iteração, arredondamos para cima:
Resposta
Para encontrar a raiz da função
usando o método da Bissecção com
, são necessárias 20 iterações.
Exercícios relacionados
Mostre que, se
e
, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Considere a função
dada pela tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 0 | 0 | 0 |
e o polinômio dado por
.
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de
sobre os pontos
? Justifique.
(a) Verifique que
(b)
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;
b) Posição Falsa;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para ;
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para