Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função f(x)=2 x+ln x, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as raízes da função usando o método da Bissecção. Essa função envolve conceitos de cálculo, como funções contínuas e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar identificar um intervalo inicial onde a função muda de sinal, aplicar o método da Bissecção repetidamente até alcançar a precisão desejada ( ) e calcular o número de iterações necessárias para obter a raiz com 6 casas decimais de aproximação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um intervalo f(0.1) = 2(0.1) + ln(0.1) = 0.2 - 2.302585 approx -2.102585 onde a função f(1) = 2(1) + ln(1) = 2 + 0 = 2 muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Como e , a função muda de negativo para positivo nesse intervalo . Portanto, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0.1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo n >= ln(b - a) - ln(varepsilon)ln(2) ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada .
A fórmula para calcular o número mínimo de iterações necessárias é:
Onde:
  • é a largura inicial do intervalo.
  • é a precisão desejada.

Passo 4

Vamos calcular o número de iterações necessárias usando a fórmula mencionada:
n >= ln(1 - 0.1) - ln(10^-6)ln(2) = ln(0.9) - (-13.815511)0.693147
Calculando:
n >= -0.1053605 + 13.8155110.693147 approx 13.71015050.693147 approx 19.78
Como não podemos ter uma fração de iteração, arredondamos para cima:
n = 20

Resposta

Para encontrar a raiz da função usando o método da Bissecção com , são necessárias 20 iterações.

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