Considere a função
(B) Quantas curvas de nível de
passam pelo ponto
?
(B) Quantas curvas de nível de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função em questão é
. A matéria aqui envolve funções de duas variáveis e, mais especificamente, curvas de nível. Vamos precisar entender como encontrar curvas de nível e determinar quantas delas passam por um ponto específico, que neste caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de todos os pontos
que resultam em um valor constante
quando substituídos na função. Ou seja, é a solução da equação
.
Passo 3
No nosso caso, queremos saber quantas curvas de nível passam pelo ponto
. Para descobrir isso, vamos primeiro calcular o valor de
:
Isso significa que o valor de
para a curva de nível que passa por
é 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação da curva de nível correspondente a
:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, a equação da curva de nível é
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se existem outras curvas de nível que também passam pelo ponto
. Para isso, consideramos que cada valor de
gera uma curva de nível diferente. No entanto, para cada ponto específico
, o valor de
é único, já que
.
Como já calculamos que
, isso significa que somente a curva de nível correspondente a
passa por
.
Resposta
Apenas uma curva de nível de
passa pelo ponto
.
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Para cada função abaixo:
(I) Encontre o domínio da função.
(B)
(I) Encontre o domínio da função.
(B)
Considere a função
(A) Faça um esboço das curvas de nível nos níveis
e
.
(A) Faça um esboço das curvas de nível