Considere a função
(B) Quantas curvas de nível de passam pelo ponto ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função em questão é . A matéria aqui envolve funções de duas variáveis e, mais especificamente, curvas de nível. Vamos precisar entender como encontrar curvas de nível e determinar quantas delas passam por um ponto específico, que neste caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de todos os pontos que resultam em um valor constante quando substituídos na função. Ou seja, é a solução da equação .

Passo 3

No nosso caso, queremos saber quantas curvas de nível passam pelo ponto . Para descobrir isso, vamos primeiro calcular o valor de :
Isso significa que o valor de para a curva de nível que passa por é 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da curva de nível correspondente a :
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, a equação da curva de nível é .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se existem outras curvas de nível que também passam pelo ponto . Para isso, consideramos que cada valor de gera uma curva de nível diferente. No entanto, para cada ponto específico , o valor de é único, já que .
Como já calculamos que , isso significa que somente a curva de nível correspondente a passa por .

Resposta

Apenas uma curva de nível de passa pelo ponto .

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Considere uma bolinha solta de uma altura . Se ela for elástica e o ambiente não apresentar nenhuma resistência ela continuará quicando para sempre? E se considerarmos a resistência do ar e a atração gravitacional, será que ela vai parar em algum momento?
Considere uma bolinha solta de uma altura . Quantas vezes a bolinha tocará o plano horizontal do chão antes de parar?
Para cada função abaixo:
(I) Encontre o domínio da função.
(B)
Considere a função
(A) Faça um esboço das curvas de nível nos níveis e .