Considere uma função de onda dada por
sen
, onde
e
é uma constante real.
Para quais valores de
ocorre a probabilidade máxima de encontrar a partícula descrita por essa função de onda?
Para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por
, onde
e
é uma constante real. A pergunta é: para quais valores de
a probabilidade de encontrar a partícula descrita por essa função de onda é máxima?
Aqui, estamos lidando com a Mecânica Quântica, especificamente com conceitos de funções de onda e probabilidades associadas a elas. O que vamos precisar entender é como calcular a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição
usando essa função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, na Mecânica Quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição
é dada pelo quadrado do valor absoluto da função de onda nessa posição, ou seja:
No nosso caso, como
é uma função real (não tem parte imaginária), podemos simplesmente elevar ao quadrado:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os valores de
que tornam
máximo. Isso significa que precisamos achar onde
é máximo, já que
é uma constante e não afeta os pontos onde a função atinge seu valor máximo.
Sabemos que o seno de qualquer ângulo varia entre -1 e 1, ou seja:
Então, ao elevar ao quadrado, temos:
Portanto,
atinge seu valor máximo, que é 1, quando
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Sabemos que:
e
onde
é qualquer número inteiro.
Nesse caso,
, então:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos isolar
nessas equações. Lembrando que
, substituímos:
Para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Juntando as duas soluções, temos que a probabilidade máxima de encontrar a partícula ocorre para:
onde
é qualquer número inteiro.
Isso significa que a cada meio comprimento de onda (
), a probabilidade de encontrar a partícula atinge seu valor máximo.
Resposta
A probabilidade máxima de encontrar a partícula ocorre para os valores de
dados por:
onde
é qualquer número inteiro.
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sen
, onde
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