Considere uma função de onda dada por sen , onde e é uma constante real.
Para quais valores de ocorre a probabilidade máxima de encontrar a partícula descrita por essa função de onda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por , onde e é uma constante real. A pergunta é: para quais valores de a probabilidade de encontrar a partícula descrita por essa função de onda é máxima?
Aqui, estamos lidando com a Mecânica Quântica, especificamente com conceitos de funções de onda e probabilidades associadas a elas. O que vamos precisar entender é como calcular a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição usando essa função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na Mecânica Quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição é dada pelo quadrado do valor absoluto da função de onda nessa posição, ou seja:
No nosso caso, como é uma função real (não tem parte imaginária), podemos simplesmente elevar ao quadrado:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de que tornam máximo. Isso significa que precisamos achar onde é máximo, já que é uma constante e não afeta os pontos onde a função atinge seu valor máximo.
Sabemos que o seno de qualquer ângulo varia entre -1 e 1, ou seja:
Então, ao elevar ao quadrado, temos:
Portanto, atinge seu valor máximo, que é 1, quando .

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.
Sabemos que:
e
onde é qualquer número inteiro.
Nesse caso, , então:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos isolar nessas equações. Lembrando que , substituímos:
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Para :
Multiplicando por :

Passo 6

Juntando as duas soluções, temos que a probabilidade máxima de encontrar a partícula ocorre para:
onde é qualquer número inteiro.
Isso significa que a cada meio comprimento de onda ( ), a probabilidade de encontrar a partícula atinge seu valor máximo.

Resposta

A probabilidade máxima de encontrar a partícula ocorre para os valores de dados por:
onde é qualquer número inteiro.

Exercícios relacionados

O comprimento de onda de De Broglie de um elétron é de 28nm. Determine: sua energia cinética em Joule e em elétron-Volt.
Considere uma função de onda dada por sen , onde e é uma constante real.
Para quais valores de a probabilidade é nula?
Considerando a concentração obtida na letra a, determine a concentração percentual em volume, considerando que a densidade do KOH é .
Qual seria a massa do KOH necessária para preparar 250 mL de solução .