Considere uma função de onda dada por psi(x)=A sen (k x), onde k=2 pi / lambda e A é uma constante real.
Para quais valores de x ocorre a probabilidade máxima de encontrar a partícula descrita por essa função de onda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por psi(x) = A sin(kx), onde k = 2pilambda e A é uma constante real. A pergunta é: para quais valores de x a probabilidade de encontrar a partícula descrita por essa função de onda é máxima?
Aqui, estamos lidando com a Mecânica Quântica, especificamente com conceitos de funções de onda e probabilidades associadas a elas. O que vamos precisar entender é como calcular a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição x usando essa função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na Mecânica Quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição x é dada pelo quadrado do valor absoluto da função de onda nessa posição, ou seja:
P(x) = |psi(x)|^2
No nosso caso, como psi(x) é uma função real (não tem parte imaginária), podemos simplesmente elevar ao quadrado:
P(x) = [A sin(kx)]^2 = A^2 sin^2(kx)

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de x que tornam P(x) máximo. Isso significa que precisamos achar onde sin^2(kx) é máximo, já que A^2 é uma constante e não afeta os pontos onde a função atinge seu valor máximo.
Sabemos que o seno de qualquer ângulo varia entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(kx) <= 1
Então, ao elevar ao quadrado, temos:
0 <= sin^2(kx) <= 1
Portanto, sin^2(kx) atinge seu valor máximo, que é 1, quando sin(kx) = pm1.

Passo 4

Vamos resolver a equação sin(kx) = pm1 para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição.
Sabemos que:
sin(theta) = 1 quando theta = pi2 + 2pi n
e
sin(theta) = -1 quando theta = 3pi2 + 2pi n
onde n é qualquer número inteiro.
Nesse caso, theta = kx, então:
Para sin(kx) = 1:
kx = pi2 + 2pi n
Para sin(kx) = -1:
kx = 3pi2 + 2pi n

Passo 5

Agora, vamos isolar x nessas equações. Lembrando que k = 2pilambda, substituímos:
Para sin(kx) = 1:
2pilambda x = pi2 + 2pi n
Multiplicando ambos os lados por lambda2pi:
x = lambda4 + nlambda
Para sin(kx) = -1:
2pilambda x = 3pi2 + 2pi n
Multiplicando por lambda2pi:
x = 3lambda4 + nlambda

Passo 6

Juntando as duas soluções, temos que a probabilidade máxima de encontrar a partícula ocorre para:
x = lambda4 + nlambda e x = 3lambda4 + nlambda
onde n é qualquer número inteiro.
Isso significa que a cada meio comprimento de onda ( lambda2), a probabilidade de encontrar a partícula atinge seu valor máximo.

Resposta

A probabilidade máxima de encontrar a partícula ocorre para os valores de x dados por:
x = lambda4 + nlambda e x = 3lambda4 + nlambda
onde n é qualquer número inteiro.

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