Considere a função f(x)=x^3-x-1. Resolva pelo método do ponto fixo com a função iteração varphi(x)=1x+1x^2 e x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos encontrar a raiz dessa função, ou seja, o valor de que faz . Para isso, vamos usar o Método do Ponto Fixo. Esse método envolve iterar uma função de iteração, que no nosso caso é . Vamos começar com um chute inicial e ir refinando até chegar numa resposta legal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. A ideia é transformar a equação original em uma forma . Aí a gente começa com um valor inicial e vai substituindo esse valor na função para obter o próximo valor , e assim por diante, até que os valores comecem a se estabilizar.

Passo 3

Vamos aplicar a função de iteração x1 = varphi(x0) = varphi(1) = 11 + 11^2 = 1 + 1 = 2 começando com x2 = varphi(x1) = varphi(2) = 12 + 12^2 = 12 + 14 = 34 = 0.75 .
Calculando x3 = varphi(0.75) = 10.75 + 10.75^2 approx 1.333 + 1.778 approx 3.111 :
Agora, calculando :
E seguimos assim:
Repetindo mais vezes, vamos encontrando valores que começam a se aproximar de um número específico.

Passo 4

Continuando as iterações, observamos que os valores estão oscilando, mas começando a se aproximar de aproximadamente . Isso indica que estamos chegando perto da raiz verdadeira da função .

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método do Ponto Fixo usando a função de iteração e começando com é aproximadamente .

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