Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações a) usando o Método de Decomposição LU, tanto com pivotação parcial quanto sem pivotação. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (triangular inferior) e U (triangular superior), e depois resolver as equações resultantes.
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 , b = 5 9 29 e o vetor dos termos constantes :
Passo 3
Agora, vamos decompor a matriz L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 em e sem usar pivotação parcial. A matriz será uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e será uma matriz triangular superior.
Iniciamos com como identidade e igual a :
Passo 4
Vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na matriz U2 = U2 - L21 times U1 = 1 & 3 & 2 - 12 times 2 & 6 & -3 = 0 & 0 & 3.5 :
Para a segunda linha: U3 = U3 - L31 times U1 = 4 & -1 & 9 - 2 times 2 & 6 & -3 = 0 & -13 & 15
Atualizamos a segunda linha de L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & 0 & 1 , U = 2 & 6 & -3 0 & 0 & 3.5 0 & -13 & 15 :
Para a terceira linha:
Atualizamos a terceira linha de :
Atualizando e :
Passo 5
Agora, eliminamos o elemento abaixo de . Porém, percebemos que , o que é problemático pois não podemos dividir por zero. Isso indica que precisamos usar a pivotação parcial para trocar as linhas e evitar esse problema.
Passo 6
Aplicando a pivotação parcial, identificamos a maior valor absoluto na coluna 2 abaixo da diagonal atual. Entre as linhas 2 e 3, U = 2 & 6 & -3 0 & -13 & 15 0 & 0 & 3.5 , L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & * & 1 , então trocamos a linha 2 com a linha 3.
Atualizamos e :
*O valor de será calculado posteriormente.
Passo 7
Agora, continuamos a decomposição com U3 = U3 - L32 times U2 = 0 & 0 & 3.5 - 0 times 0 & -13 & 15 = 0 & 0 & 3.5 :
U = 2 & 6 & -3 0 & -13 & 15 0 & 0 & 3.5
Atualizamos a terceira linha de L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & 0 & 1 :
Então, permanece:
E é:
Passo 8
Com as matrizes y1 = 5 0.5y1 + y2 = 9 2y1 + y3 = 29 e 5 6.5 19 prontas, resolvemos o sistema para encontrar , e depois resolvemos para encontrar .