Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações a) usando o Método de Decomposição LU, tanto com pivotação parcial quanto sem pivotação. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (triangular inferior) e U (triangular superior), e depois resolver as equações resultantes.
O sistema a) é:

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes :

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz em e sem usar pivotação parcial. A matriz será uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e será uma matriz triangular superior.
Iniciamos com como identidade e igual a :

Passo 4

Vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na matriz :
  • Para a segunda linha:
  • Atualizamos a segunda linha de :
  • Para a terceira linha:
  • Atualizamos a terceira linha de :
Atualizando e :

Passo 5

Agora, eliminamos o elemento abaixo de . Porém, percebemos que , o que é problemático pois não podemos dividir por zero. Isso indica que precisamos usar a pivotação parcial para trocar as linhas e evitar esse problema.

Passo 6

Aplicando a pivotação parcial, identificamos a maior valor absoluto na coluna 2 abaixo da diagonal atual. Entre as linhas 2 e 3, , então trocamos a linha 2 com a linha 3.
Atualizamos e :
*O valor de será calculado posteriormente.

Passo 7

Agora, continuamos a decomposição com :
  • Atualizamos a terceira linha de :
Então, permanece:
E é:

Passo 8

Com as matrizes e prontas, resolvemos o sistema para encontrar , e depois resolvemos para encontrar .
Primeiro, resolvendo :
Resolvendo:
Então,

Passo 9

Agora, resolvemos :
Resolvendo de baixo para cima:
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema a) usando o Método de Decomposição LU com pivotação parcial são aproximadamente:

Exercícios relacionados

Dado o vetor , calcular
a)
Sejam as matrizes . Calcule:
c)
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
c)
Considere a função . Resolva pelo método do ponto fixo com a função iteração .