Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações a) usando o Método de Decomposição LU, tanto com pivotação parcial quanto sem pivotação. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (triangular inferior) e U (triangular superior), e depois resolver as equações resultantes.
O sistema a) é:
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes :
Passo 3
Agora, vamos decompor a matriz em e sem usar pivotação parcial. A matriz será uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e será uma matriz triangular superior.
Iniciamos com como identidade e igual a :
Passo 4
Vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na matriz :
Para a segunda linha:
Atualizamos a segunda linha de :
Para a terceira linha:
Atualizamos a terceira linha de :
Atualizando e :
Passo 5
Agora, eliminamos o elemento abaixo de . Porém, percebemos que , o que é problemático pois não podemos dividir por zero. Isso indica que precisamos usar a pivotação parcial para trocar as linhas e evitar esse problema.
Passo 6
Aplicando a pivotação parcial, identificamos a maior valor absoluto na coluna 2 abaixo da diagonal atual. Entre as linhas 2 e 3, , então trocamos a linha 2 com a linha 3.
Atualizamos e :
*O valor de será calculado posteriormente.
Passo 7
Agora, continuamos a decomposição com :
Atualizamos a terceira linha de :
Então, permanece:
E é:
Passo 8
Com as matrizes e prontas, resolvemos o sistema para encontrar , e depois resolvemos para encontrar .
Primeiro, resolvendo :
Resolvendo:
Então,
Passo 9
Agora, resolvemos :
Resolvendo de baixo para cima:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Resposta
As soluções do sistema a) usando o Método de Decomposição LU com pivotação parcial são aproximadamente: