Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Decomposição LU e considerando duas casas decimais.
a) l 2 x1+6 x2-3 x3=5 x1+3 x2+2 x3=9 4 x1-1 x2+9 x3=29 b) l 4 x1-1 x2+3 x3+8 x4=43 x1+6 x2+2 x3-3 x4=7 5 x1+5 x2+x3=18 2 x1+4 x2-2 x3+x4=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações a) usando o Método de Decomposição LU, tanto com pivotação parcial quanto sem pivotação. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar decompor a matriz dos coeficientes em duas matrizes, L (triangular inferior) e U (triangular superior), e depois resolver as equações resultantes.
O sistema a) é:
2x1 + 6x2 - 3x3 = 5 x1 + 3x2 + 2x3 = 9 4x1 - x2 + 9x3 = 29

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 , b = 5 9 29 e o vetor dos termos constantes :

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , U = 2 & 6 & -3 1 & 3 & 2 4 & -1 & 9 em e sem usar pivotação parcial. A matriz será uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e será uma matriz triangular superior.
Iniciamos com como identidade e igual a :

Passo 4

Vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na matriz U2 = U2 - L21 times U1 = 1 & 3 & 2 - 12 times 2 & 6 & -3 = 0 & 0 & 3.5 :
  • Para a segunda linha: U3 = U3 - L31 times U1 = 4 & -1 & 9 - 2 times 2 & 6 & -3 = 0 & -13 & 15
  • Atualizamos a segunda linha de L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & 0 & 1 , U = 2 & 6 & -3 0 & 0 & 3.5 0 & -13 & 15 :
  • Para a terceira linha:
  • Atualizamos a terceira linha de :
Atualizando e :

Passo 5

Agora, eliminamos o elemento abaixo de . Porém, percebemos que , o que é problemático pois não podemos dividir por zero. Isso indica que precisamos usar a pivotação parcial para trocar as linhas e evitar esse problema.

Passo 6

Aplicando a pivotação parcial, identificamos a maior valor absoluto na coluna 2 abaixo da diagonal atual. Entre as linhas 2 e 3, U = 2 & 6 & -3 0 & -13 & 15 0 & 0 & 3.5 , L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & * & 1 , então trocamos a linha 2 com a linha 3.
Atualizamos e :
*O valor de será calculado posteriormente.

Passo 7

Agora, continuamos a decomposição com U3 = U3 - L32 times U2 = 0 & 0 & 3.5 - 0 times 0 & -13 & 15 = 0 & 0 & 3.5 :
  • U = 2 & 6 & -3 0 & -13 & 15 0 & 0 & 3.5
  • Atualizamos a terceira linha de L = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 2 & 0 & 1 :
Então, permanece:
E é:

Passo 8

Com as matrizes y1 = 5 0.5y1 + y2 = 9 2y1 + y3 = 29 e 5 6.5 19 prontas, resolvemos o sistema para encontrar , e depois resolvemos para encontrar .
Primeiro, resolvendo :
Resolvendo:
Então,

Passo 9

Agora, resolvemos 2x1 + 6x2 - 3x3 = 5 -13x2 + 15x3 = 6.5 3.5x3 = 19 :
-13x2 + 15 times 5.43 = 6.5 Rightarrow -13x2 + 81.45 = 6.5 Rightarrow -13x2 = -74.95 Rightarrow x2 approx 5.77
Resolvendo de baixo para cima:
  • 2x1 + 6 times 5.77 - 3 times 5.43 = 5 Rightarrow 2x1 + 34.62 - 16.29 = 5 Rightarrow 2x1 + 18.33 = 5 Rightarrow 2x1 = -13.33 Rightarrow x1 approx -6.67
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema a) usando o Método de Decomposição LU com pivotação parcial são aproximadamente:
x1 = -6.67, x2 = 5.77, x3 = 5.43

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