Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares e queremos resolver ele usando o método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações. Para usar esse método, precisamos que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante, o que garante que o método vai convergir para a solução correta. Vamos verificar isso e, em seguida, aplicar o método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações para identificar a matriz dos coeficientes:
Agora, vamos verificar se a matriz é diagonalmente dominante. Uma matriz é diagonalmente dominante se, em cada equação, o coeficiente da variável principal (diagonal) for maior que a soma dos outros coeficientes absolutos.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Como todas as linhas confirmam a dominância diagonal, podemos usar o método de Gauss-Jacobi com tranquilidade.
Passo 3
Agora, vamos reescrever cada equação para isolar cada variável. Isso vai nos ajudar a aplicar as iterações do método:
Essas fórmulas serão usadas para atualizar os valores de , e em cada iteração.
Passo 4
Vamos iniciar as iterações com as aproximações iniciais , e .
Iteração 1:
Passo 5
Iteração 2:
Usando os valores da iteração anterior:
Passo 6
Iteração 3:
Usando os valores da iteração anterior:
Passo 7
Continuamos as iterações seguindo o mesmo processo até que as diferenças entre as aproximações consecutivas sejam menores que . Para simplificar, após algumas iterações, chegamos aos valores aproximados:
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é: