Considere a função f(x) tabelada nos pontos a seguir:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18
Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação f(x)-1.15=0 no intervalo [1,7].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com alguns pontos da função e pede para a gente encontrar uma aproximação para a solução da equação no intervalo usando interpolação linear. Isso significa que vamos estimar o valor de onde é igual a 1.15, baseando-nos nos pontos que já temos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar entre quais valores de o valor de passa de acima para abaixo de 1.15 ou vice-versa. Olhando a tabela:
1 2 3 4 5 6 7
0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18
Vemos que e . Note que 1.18 ainda é maior que 1.15, mas está próximo. Isso sugere que a solução está logo depois de . Porém, como nosso intervalo é , faremos a interpolação linear entre e .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da interpolação linear para estimar o valor de x = x1 + (y - y1)(x2 - x1)y2 - y1 onde x = 6 + (1.15 - 1.30)(7 - 6)1.18 - 1.30 . A fórmula básica é:
x = 6 + (-0.15)(1)-0.12 = 6 + -0.15-0.12 = 6 + 1.25 = 7.25
Onde:
  • e são os dois pontos que cercam o valor de que queremos encontrar.
  • é o valor que estamos buscando, que neste caso é 1.15.
Aplicando os valores:
  • ,
  • ,
Substituindo na fórmula:
Calculando o numerador e o denominador:

Resposta

Aproximadamente, a solução para a equação é .

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