Dada f(x)=-2 x^6-1.5 x^4+10 x+2, use o método da bisseç̧ão para determinar o máximo dessa função no intervalo [0,1]. Faça iterações até que o erro fique abaixo de varepsilon=10^-2.
Resposta: x6=0.8671875

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos encontrar o ponto onde ela atinge o máximo no intervalo . Para isso, vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Basicamente, vamos buscar onde a derivada da função é zero, já que nesses pontos podem haver máximos ou mínimos. Vamos precisar calcular a derivada de e aplicar o método da bisseção até que o erro seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(-2x^6) + ddx(-1.5x^4) + ddx(10x) + ddx(2) = -12x^5 - 6x^3 + 10 . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Calculando termo a termo:
f'(x) = -12x^5 - 6x^3 + 10
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bisseção para encontrar onde f'(0) = -12(0)^5 - 6(0)^3 + 10 = 10 (positivo) no intervalo f'(1) = -12(1)^5 - 6(1)^3 + 10 = -12 - 6 + 10 = -8 (negativo) . O método da bisseção funciona assim: a gente divide o intervalo ao meio e verifica em qual subintervalo a raiz está, repetindo esse processo até chegar na precisão desejada.
Primeiro, verificamos os valores da derivada nas extremidades do intervalo:
Como é positivo e é negativo, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo graças ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Vamos começar as iterações do método da bisseção:
Iteração 1:
a = 0, b = 1
c = 0 + 12 = 0.5
f'(0.5) = -12(0.5)^5 - 6(0.5)^3 + 10 = -12(0.03125) - 6(0.125) + 10 = -0.375 - 0.75 + 10 = 8.875 (positivo)
Como a = 0.5, b = 1 , a raiz está no intervalo c = 0.5 + 12 = 0.75 .
Iteração 2:
f'(0.75) = -12(0.75)^5 - 6(0.75)^3 + 10 approx -12(0.2373) - 6(0.4219) + 10 approx -2.8476 - 2.5314 + 10 = 4.6209 (positivo)
a = 0.75, b = 1
c = 0.75 + 12 = 0.875
Como f'(0.875) = -12(0.875)^5 - 6(0.875)^3 + 10 approx -12(0.512) - 6(0.6699) + 10 approx -6.144 - 4.0194 + 10 = -0.1634 (negativo) , a raiz está no intervalo a = 0.75, b = 0.875 .
Iteração 3:
c = 0.75 + 0.8752 = 0.8125
f'(0.8125) = -12(0.8125)^5 - 6(0.8125)^3 + 10 approx -12(0.327) - 6(0.536) + 10 approx -3.924 - 3.216 + 10 = 2.86 (positivo)
a = 0.8125, b = 0.875
Como c = 0.8125 + 0.8752 = 0.84375 , a raiz está no intervalo f'(0.84375) = -12(0.84375)^5 - 6(0.84375)^3 + 10 approx -12(0.443) - 6(0.601) + 10 approx -5.316 - 3.606 + 10 = 1.078 (positivo) .
Iteração 4:
a = 0.84375, b = 0.875
c = 0.84375 + 0.8752 = 0.859375
f'(0.859375) = -12(0.859375)^5 - 6(0.859375)^3 + 10 approx -12(0.478) - 6(0.635) + 10 approx -5.736 - 3.81 + 10 = 0.454 (positivo)
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 5:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 6:
Como , a raiz está no intervalo .
A diferença entre e agora é , que é menor que . Portanto, paramos as iterações aqui.

Resposta

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