Dada , use o método da bisseç̧ão para determinar o máximo dessa função no intervalo . Faça iterações até que o erro fique abaixo de .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos encontrar o ponto onde ela atinge o máximo no intervalo . Para isso, vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Basicamente, vamos buscar onde a derivada da função é zero, já que nesses pontos podem haver máximos ou mínimos. Vamos precisar calcular a derivada de e aplicar o método da bisseção até que o erro seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. Calculando termo a termo:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bisseção para encontrar onde no intervalo . O método da bisseção funciona assim: a gente divide o intervalo ao meio e verifica em qual subintervalo a raiz está, repetindo esse processo até chegar na precisão desejada.
Primeiro, verificamos os valores da derivada nas extremidades do intervalo:
Como é positivo e é negativo, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo graças ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Vamos começar as iterações do método da bisseção:
Iteração 1:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 2:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 3:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 4:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 5:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 6:
Como , a raiz está no intervalo .
A diferença entre e agora é , que é menor que . Portanto, paramos as iterações aqui.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a função tabelada nos pontos a seguir:
1 2 3 4 5 6 7
0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18
Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação no intervalo .
Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de . Use a aproximação inicial e itere até erro relativo .