Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
integral4^4.5 1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 4 até 4,5 usando a regra dos trapézios. Isso significa que vamos aproximar a área sob a curva entre esses limites e também calcular qual foi o erro dessa aproximação. Para isso, precisamos saber como aplicar a regra dos trapézios e entender um pouquinho sobre cálculo de erros em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra dos trapézios. É um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo-a em trapézios ao invés de retângulos. A fórmula básica para um único trapézio é:
Integral approx h2 [ f(a) + f(b) ]
onde:
  • é o comprimento do intervalo,
  • e são os limites de integração,
  • e são os valores da função nos pontos e .

Passo 3

Vamos calcular o tamanho do intervalo h = b - a = 4,5 - 4 = 0,5 . Como temos apenas um trapézio (n=1), o intervalo é de 4 até 4,5. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função nos pontos f(a) = f(4) = 14^2 = 116 = 0,0625 e f(b) = f(4,5) = 1(4,5)^2 = 120,25 approx 0,0494 :

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra dos trapézios:
Integral approx 0,52 [ 0,0625 + 0,0494 ] = 0,25 times 0,1119 approx 0,027975

Passo 6

Para calcular o erro cometido, primeiro encontramos o valor exato da integral. A antiderivada de integral4^4,5 1x^2 dx = [ -1x ]4^4,5 = -14,5 + 14 approx -0,2222 + 0,25 = 0,0278 é . Então:

Passo 7

Calculando o erro:
Erro = |Valor Aproximado - Valor Exato| = |0,027975 - 0,0278| approx 0,000175

Resposta

A integral aproximada pela regra dos trapézios é aproximadamente e o erro cometido é cerca de .

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