Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
de 4 até 4,5 usando a regra dos trapézios. Isso significa que vamos aproximar a área sob a curva entre esses limites e também calcular qual foi o erro dessa aproximação. Para isso, precisamos saber como aplicar a regra dos trapézios e entender um pouquinho sobre cálculo de erros em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra dos trapézios. É um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo-a em trapézios ao invés de retângulos. A fórmula básica para um único trapézio é:
onde:
-
é o comprimento do intervalo, -
e são os limites de integração, -
e são os valores da função nos pontos e .
Passo 3
Vamos calcular o tamanho do intervalo
. Como temos apenas um trapézio (n=1), o intervalo é de 4 até 4,5. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores da função nos pontos
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da regra dos trapézios:
Passo 6
Para calcular o erro cometido, primeiro encontramos o valor exato da integral. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 7
Calculando o erro:
Resposta
A integral aproximada pela regra dos trapézios é aproximadamente
e o erro cometido é cerca de
.