Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
integral3^6 3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a regra dos trapézios. A regra dos trapézios é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas. Para isso, precisamos entender a função que estamos integrando e aplicar a fórmula da regra dos trapézios para estimar o valor da integral, além de calcular o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra dos trapézios. Ela aproxima a área sob a curva de uma função entre dois pontos, Integral approx b - a2 [ f(a) + f(b) ] e , dividindo essa área em trapézios em vez de retângulos (como na regra dos retângulos). A fórmula básica para um único trapézio é:
Onde:
  • e são os limites de integração,
  • e são os valores da função nos pontos e .

Passo 3

Vamos identificar os valores para nossa situação:
  • f(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11
  • f(6) = 3(6) + 2 = 18 + 2 = 20
  • Nossa função é
Primeiro, calculamos e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da regra dos trapézios:
Integral approx 6 - 32 [ f(3) + f(6) ] = 32 [ 11 + 20 ] = 32 times 31 = 932 = 46,5
Então, a aproximação da integral usando a regra dos trapézios é 46,5.

Passo 5

Para calcular o erro cometido nessa aproximação, vamos primeiro encontrar o valor exato da integral. Vamos resolver a integral de forma analítica:
integral3^6 (3x + 2) , dx = [ 32x^2 + 2x ]3^6
Calculando nos limites:
( 32(6)^2 + 2(6) ) - ( 32(3)^2 + 2(3) ) = ( 32 times 36 + 12 ) - ( 32 times 9 + 6 )
= ( 54 + 12 ) - ( 13,5 + 6 ) = 66 - 19,5 = 46,5

Passo 6

Surpresa! O valor exato da integral também é 46,5. Isso significa que, neste caso, a regra dos trapézios nos deu a resposta exata, e o erro cometido é 0.

Resposta

A integral calculada pela regra dos trapézios é 46,5 e o erro cometido é 0.

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