Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando a regra dos trapézios. A regra dos trapézios é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas. Para isso, precisamos entender a função que estamos integrando e aplicar a fórmula da regra dos trapézios para estimar o valor da integral, além de calcular o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra dos trapézios. Ela aproxima a área sob a curva de uma função entre dois pontos,
e
, dividindo essa área em trapézios em vez de retângulos (como na regra dos retângulos). A fórmula básica para um único trapézio é:
Onde:
-
e são os limites de integração, -
e são os valores da função nos pontos e .
Passo 3
Vamos identificar os valores para nossa situação:
-
-
- Nossa função é
Primeiro, calculamos
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da regra dos trapézios:
Então, a aproximação da integral usando a regra dos trapézios é 46,5.
Passo 5
Para calcular o erro cometido nessa aproximação, vamos primeiro encontrar o valor exato da integral. Vamos resolver a integral de forma analítica:
Calculando nos limites:
Passo 6
Surpresa! O valor exato da integral também é 46,5. Isso significa que, neste caso, a regra dos trapézios nos deu a resposta exata, e o erro cometido é 0.
Resposta
A integral
calculada pela regra dos trapézios é 46,5 e o erro cometido é 0.