Dada a tabela a seguir, calcule
usando um polinômio de interpolação sobre três pontos (use a forma de Lagrange).
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Passo 1
Então, vamos lá! O problema pede para a gente calcular
usando um polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos da tabela fornecida. Isso significa que vamos usar três valores de
e seus correspondentes
para aproximar
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher três pontos da tabela que estejam mais próximos de
. Olhando a tabela, os valores de
são 2.8, 3.0 e 3.2. Esses são os mais próximos de 3.1, então vamos usar esses três pontos para nossa interpolação.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o polinômio de interpolação de Lagrange. Ele é uma combinação dos valores conhecidos que passa exatamente por esses pontos. A fórmula geral para três pontos é:
Aqui,
,
e
são nossos três pontos escolhidos.
Passo 4
Vamos identificar nossos pontos:
-
, -
, -
,
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange, temos:
Passo 6
Vamos simplificar os denominadores:
Passo 7
Substituindo os denominadores simplificados:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 9
Calculando cada parte:
Passo 10
Somando todas as partes:
Resposta
Portanto, usando o polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos, estimamos que
.
Exercícios relacionados
( 2,5 pontos) Use o método de eliminação de Gauss para resolver o seguinte sistema linear. Em cada cálculo use 3 casas decimais após a vírgula utilizando o arredondamento.
Dada a função
através da tabela abaixo, calcular o valor de:
|
|
|
---|---|---|
0 | 0.0 | 5.021 |
1 | 0.5 | 6.146 |
2 | 1.0 | 6.630 |
3 | 1.5 | 6.945 |
4 | 2.0 | 7.178 |
5 | 2.5 | 7.364 |
6 | 3.0 | 7.519 |
Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Considere a função
tabelada nos pontos a seguir:
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0.91 | 1.43 | 1.58 | 1.55 | 1.44 | 1.30 | 1.18 |
Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação
no intervalo
.