Dada a tabela a seguir, calcule
usando um polinômio de interpolação sobre três pontos (use a forma de Lagrange).
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2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
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11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Passo 1
Então, vamos lá! O problema pede para a gente calcular
usando um polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos da tabela fornecida. Isso significa que vamos usar três valores de
e seus correspondentes
para aproximar
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher três pontos da tabela que estejam mais próximos de
. Olhando a tabela, os valores de
são 2.8, 3.0 e 3.2. Esses são os mais próximos de 3.1, então vamos usar esses três pontos para nossa interpolação.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o polinômio de interpolação de Lagrange. Ele é uma combinação dos valores conhecidos que passa exatamente por esses pontos. A fórmula geral para três pontos é:
Aqui,
,
e
são nossos três pontos escolhidos.
Passo 4
Vamos identificar nossos pontos:
-
, -
, -
,
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange, temos:
Passo 6
Vamos simplificar os denominadores:
Passo 7
Substituindo os denominadores simplificados:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 9
Calculando cada parte:
Passo 10
Somando todas as partes:
Resposta
Portanto, usando o polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos, estimamos que
.