Dada a tabela a seguir, calcule e^3.1 usando um polinômio de interpolação sobre três pontos (use a forma de Lagrange).
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
e^x 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70

Passo 1

Então, vamos lá! O problema pede para a gente calcular usando um polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos da tabela fornecida. Isso significa que vamos usar três valores de e seus correspondentes para aproximar . Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher três pontos da tabela que estejam mais próximos de . Olhando a tabela, os valores de são 2.8, 3.0 e 3.2. Esses são os mais próximos de 3.1, então vamos usar esses três pontos para nossa interpolação.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o polinômio de interpolação de Lagrange. Ele é uma combinação dos valores conhecidos que passa exatamente por esses pontos. A fórmula geral para três pontos é:
P(x) = y0 cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + y1 cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + y2 cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
Aqui, , e são nossos três pontos escolhidos.

Passo 4

Vamos identificar nossos pontos:
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange, temos:
P(x) = 16.44 cdot (x - 3.0)(x - 3.2)(2.8 - 3.0)(2.8 - 3.2) + 20.08 cdot (x - 2.8)(x - 3.2)(3.0 - 2.8)(3.0 - 3.2) + 24.53 cdot (x - 2.8)(x - 3.0)(3.2 - 2.8)(3.2 - 3.0)

Passo 6

Vamos simplificar os denominadores:
(2.8 - 3.0) = -0.2 (2.8 - 3.2) = -0.4 (3.0 - 2.8) = 0.2 (3.0 - 3.2) = -0.2 (3.2 - 2.8) = 0.4 (3.2 - 3.0) = 0.2

Passo 7

Substituindo os denominadores simplificados:
P(x) = 16.44 cdot (x - 3.0)(x - 3.2)(-0.2)(-0.4) + 20.08 cdot (x - 2.8)(x - 3.2)(0.2)(-0.2) + 24.53 cdot (x - 2.8)(x - 3.0)(0.4)(0.2)
P(x) = 16.44 cdot (x - 3.0)(x - 3.2)0.08 + 20.08 cdot (x - 2.8)(x - 3.2)-0.04 + 24.53 cdot (x - 2.8)(x - 3.0)0.08

Passo 8

Agora, substituímos P(3.1) = 16.44 cdot (3.1 - 3.0)(3.1 - 3.2)0.08 + 20.08 cdot (3.1 - 2.8)(3.1 - 3.2)-0.04 + 24.53 cdot (3.1 - 2.8)(3.1 - 3.0)0.08 na expressão de P(3.1) = 16.44 cdot (0.1)(-0.1)0.08 + 20.08 cdot (0.3)(-0.1)-0.04 + 24.53 cdot (0.3)(0.1)0.08 :

Passo 9

Calculando cada parte:
16.44 cdot -0.010.08 = 16.44 cdot (-0.125) = -2.055
20.08 cdot -0.03-0.04 = 20.08 cdot 0.75 = 15.06
24.53 cdot 0.030.08 = 24.53 cdot 0.375 = 9.19875

Passo 10

Somando todas as partes:
P(3.1) = -2.055 + 15.06 + 9.19875 = 22.20375

Resposta

Portanto, usando o polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos, estimamos que .

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