Dada a tabela a seguir, calcule usando um polinômio de interpolação sobre três pontos (use a forma de Lagrange).
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70

Passo 1

Então, vamos lá! O problema pede para a gente calcular usando um polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos da tabela fornecida. Isso significa que vamos usar três valores de e seus correspondentes para aproximar . Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher três pontos da tabela que estejam mais próximos de . Olhando a tabela, os valores de são 2.8, 3.0 e 3.2. Esses são os mais próximos de 3.1, então vamos usar esses três pontos para nossa interpolação.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o polinômio de interpolação de Lagrange. Ele é uma combinação dos valores conhecidos que passa exatamente por esses pontos. A fórmula geral para três pontos é:
Aqui, , e são nossos três pontos escolhidos.

Passo 4

Vamos identificar nossos pontos:
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Lagrange, temos:

Passo 6

Vamos simplificar os denominadores:

Passo 7

Substituindo os denominadores simplificados:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 9

Calculando cada parte:

Passo 10

Somando todas as partes:

Resposta

Portanto, usando o polinômio de interpolação de Lagrange com três pontos, estimamos que .

Exercícios relacionados

( 2,5 pontos) Use o método de eliminação de Gauss para resolver o seguinte sistema linear. Em cada cálculo use 3 casas decimais após a vírgula utilizando o arredondamento.
Dada a função através da tabela abaixo, calcular o valor de:
0 0.0 5.021
1 0.5 6.146
2 1.0 6.630
3 1.5 6.945
4 2.0 7.178
5 2.5 7.364
6 3.0 7.519
Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Considere a função tabelada nos pontos a seguir:
1 2 3 4 5 6 7
0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18
Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação no intervalo .