Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para ln 2, e o erro relativo cometido, com
a) n=1, h=1 (Resp: I=0,75, er=8,2 %)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma aproximação para o valor de ln 2 usando as fórmulas de Newton-Cotes, que são métodos de integração numérica. Aqui, vamos usar os valores n=1 e h=1. Além disso, temos que calcular o erro relativo dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de Newton-Cotes de primeiro grau (também conhecida como a regra do trapézio) e depois comparar o resultado obtido com o valor exato de ln 2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a fórmula de Newton-Cotes. Para n=1, estamos usando a regra do trapézio, que aproxima a integral de uma função em um intervalo dividindo-o em um trapézio. A fórmula geral é:
I approx h2 [f(a) + f(b)]
onde:
  • h é o tamanho do intervalo,
  • a e b são os limites de integração,
  • f(a) e f(b) são os valores da função nos limites.

Passo 3

No nosso caso, queremos calcular a integral que nos dá ln 2. Sabemos que:
ln 2 = integral1^2 1x , dx
Então, nossa função f(x) é 1x, e os limites de integração são a=1 e b=2. O tamanho do intervalo h já foi dado como 1.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do trapézio:
I approx h2 [f(a) + f(b)] = 12 [11 + 12] = 12 [1 + 0.5] = 12 times 1.5 = 0.75
Então, a nossa aproximação para ln 2 é 0,75.

Passo 5

Para encontrar o erro relativo, precisamos comparar esse valor aproximado com o valor exato de ln 2. Sabemos que:
ln 2 approx 0.69314718
O erro absoluto é:
|I - ln 2| = |0.75 - 0.69314718| approx 0.05685282
E o erro relativo é dado por:
er = ( |I - ln 2||ln 2| ) times 100% approx ( 0.056852820.69314718 ) times 100% approx 8.2%

Resposta

I=0,75, er=8,2 %

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