Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para ln 2, e o erro relativo cometido, com
d) n=4, h=1 / 4 (Resp: I=0,69317460, er=0,004 %)

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de aproximação para o valor de ln 2 utilizando as fórmulas de Newton-Cotes com n=4 e h=1/4. A matéria envolve integração numérica, especificamente as fórmulas de Newton-Cotes, que são métodos para estimar integrais definidas. Vamos precisar das fórmulas específicas para n=4 e aplicar os dados fornecidos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as fórmulas de Newton-Cotes. Elas são usadas para aproximar integrais definidas dividindo a área sob a curva em segmentos mais simples, geralmente polinomiais. Para n=4, estamos usando a regra de Simpson 3/8, que é uma das fórmulas de Newton-Cotes com 4 subdivisões.

Passo 3

A fórmula de Simpson 3/8 para n=4 é dada por:
integrala^b f(x) , dx approx 3h8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) ]
onde h = b - an e xi = a + ih para i = 0, 1, 2, 3, 4.

Passo 4

No nosso caso, queremos calcular ln 2. Vamos considerar a integral de f(x) = 1x de x=1 a x=2, já que integral1^2 1x , dx = ln 2.
Dados:
  • a = 1
  • b = 2
  • n = 4
  • h = 14

Passo 5

Vamos calcular os pontos xi:
x0 &= 1 + 0 times 14 = 1 x1 &= 1 + 1 times 14 = 1.25 x2 &= 1 + 2 times 14 = 1.5 x3 &= 1 + 3 times 14 = 1.75 x4 &= 1 + 4 times 14 = 2

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de f(xi) = 1xi:
f(x0) &= 11 = 1 f(x1) &= 11.25 = 0.8 f(x2) &= 11.5 approx 0.66666667 f(x3) &= 11.75 approx 0.57142857 f(x4) &= 12 = 0.5

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula de Simpson 3/8:
integral1^2 1x , dx &approx 3 times 148 [ 1 + 3(0.8) + 3(0.66666667) + 2(0.57142857) + 3(0.5) ] &= 3 times 0.258 [ 1 + 2.4 + 2 + 1.14285714 + 1.5 ] &= 0.758 times 7.04285714 &= 0.09375 times 7.04285714 &approx 0.69317460

Passo 8

Para calcular o erro relativo, usamos a fórmula:
er = | Valor exato - AproximaçãoValor exato | times 100% çã
Sabemos que o valor exato de ln 2 approx 0.69314718.
er &= | 0.69314718 - 0.693174600.69314718 | times 100% &= | -0.000027420.69314718 | times 100% &approx 0.00396% &approx 0.004%

Resposta

I=0.69317460, er=0,004 %)

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