Considere as integrais:
a)
b)
.
Estime
por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
a)
b)
Estime
Passo 1
Beleza, vamos resolver as duas integrais que você me deu usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. A Quadratura Gaussiana é um método de aproximação de integrais que utiliza pontos específicos (chamados de nós) e pesos para estimar o valor da integral de forma mais eficiente. Para isso, precisamos saber os nós e pesos para 2 e 3 pontos e ajustar a integral para o intervalo padrão de
.
Passo 2
Vamos começar com a integral a)
usando Quadratura Gaussiana com 2 pontos.
Primeiro, mapeamos o intervalo
para
usando a substituição:
onde
e
. Assim:
A integral fica:
Agora, usamos os nós e pesos para 2 pontos:
- Nós:
, - Pesos:
Aplicando a Quadratura Gaussiana:
Passo 3
Agora vamos usar Quadratura Gaussiana com 3 pontos para a mesma integral.
Os nós e pesos para 3 pontos são:
- Nós:
, , - Pesos:
,
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral b)
também usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Primeiro, mapeamos o intervalo
para
:
A integral fica:
Usamos os mesmos nós e pesos que na integral a).
Passo 5
Primeiro, com 2 pontos:
(Para a parte a) e similar para b))
Passo 6
Com 3 pontos:
(Novamente, isso se aplica para ambas as integrais)
Resposta
Utilizando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos, as estimativas das integrais são:
a)
- 2 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
- 3 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
b)
- 2 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
- 3 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
Os valores finais dependem da computação das expressões apresentadas nos passos.