Considere as integrais:
a)
b) .
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver as duas integrais que você me deu usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. A Quadratura Gaussiana é um método de aproximação de integrais que utiliza pontos específicos (chamados de nós) e pesos para estimar o valor da integral de forma mais eficiente. Para isso, precisamos saber os nós e pesos para 2 e 3 pontos e ajustar a integral para o intervalo padrão de .

Passo 2

Vamos começar com a integral a) usando Quadratura Gaussiana com 2 pontos.
Primeiro, mapeamos o intervalo para usando a substituição:
onde e . Assim:
A integral fica:
Agora, usamos os nós e pesos para 2 pontos:
  • Nós: ,
  • Pesos:
Aplicando a Quadratura Gaussiana:

Passo 3

Agora vamos usar Quadratura Gaussiana com 3 pontos para a mesma integral.
Os nós e pesos para 3 pontos são:
  • Nós: , ,
  • Pesos: ,
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral b) também usando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Primeiro, mapeamos o intervalo para :
A integral fica:
Usamos os mesmos nós e pesos que na integral a).

Passo 5

Primeiro, com 2 pontos:
(Para a parte a) e similar para b))

Passo 6

Com 3 pontos:
(Novamente, isso se aplica para ambas as integrais)

Resposta

Utilizando a Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos, as estimativas das integrais são:
a)
  • 2 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
  • 3 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
b)
  • 2 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
  • 3 pontos: Aproximação calculada conforme os passos acima.
Os valores finais dependem da computação das expressões apresentadas nos passos.

Exercícios relacionados

Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
b)
Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
c)
Seja o sistema linear:
(a) Verificar se o Método de Gauss-Jacobi é convergente para este sistema, usando o critério das linhas.
(b) Resolver o sistema com e .
Calcule as integrais a seguir.
(b)