Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
b)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma aproximação para usando a fórmula de Newton-Cotes com e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais definidas, onde usamos métodos numéricos para estimar o valor de integrais quando não conseguimos resolver de forma exata. Aqui, vamos precisar entender a Fórmula de Simpson (que é uma das fórmulas de Newton-Cotes) e como aplicá-la para aproximar . Também vamos calcular o erro relativo dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que pode ser representado como a integral de de 1 a 2:
Nosso objetivo é aproximar esse valor usando a Fórmula de Simpson.

Passo 3

A Fórmula de Simpson para (ou seja, usando duas subdivisões) é dada por:
Aqui:
  • e são os limites de integração (1 e 2, respectivamente).
  • é o tamanho do passo, que já está dado como .
  • , , e .

Passo 4

Vamos identificar os pontos:
Agora, vamos calcular em cada ponto, onde :

Passo 5

Substituindo esses valores na Fórmula de Simpson:
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calcule :
Então, a soma dentro dos colchetes fica:

Passo 7

Agora, multiplique por :
Então, a aproximação para é aproximadamente 0.69444445.

Passo 8

Vamos agora calcular o erro relativo. Sabemos que:
O erro relativo é dado por:
çã
Substituindo os valores:

Resposta

A aproximação para usando e é e o erro relativo cometido é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
c)
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
.
Considere as integrais:
a)
b) .
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Seja o sistema linear:
(a) Verificar se o Método de Gauss-Jacobi é convergente para este sistema, usando o critério das linhas.
(b) Resolver o sistema com e .