Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
b)
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma aproximação para usando a fórmula de Newton-Cotes com e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais definidas, onde usamos métodos numéricos para estimar o valor de integrais quando não conseguimos resolver de forma exata. Aqui, vamos precisar entender a Fórmula de Simpson (que é uma das fórmulas de Newton-Cotes) e como aplicá-la para aproximar . Também vamos calcular o erro relativo dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que pode ser representado como a integral de de 1 a 2:
Nosso objetivo é aproximar esse valor usando a Fórmula de Simpson.
Passo 3
A Fórmula de Simpson para (ou seja, usando duas subdivisões) é dada por:
Aqui:
e são os limites de integração (1 e 2, respectivamente).
é o tamanho do passo, que já está dado como .
, , e .
Passo 4
Vamos identificar os pontos:
Agora, vamos calcular em cada ponto, onde :
Passo 5
Substituindo esses valores na Fórmula de Simpson:
Vamos simplificar passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calcule :
Então, a soma dentro dos colchetes fica:
Passo 7
Agora, multiplique por :
Então, a aproximação para é aproximadamente 0.69444445.
Passo 8
Vamos agora calcular o erro relativo. Sabemos que:
O erro relativo é dado por:
Substituindo os valores:
Resposta
A aproximação para usando e é e o erro relativo cometido é aproximadamente .