Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para ln 2, e o erro relativo cometido, com
b) n=2, h=1 / 2

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma aproximação para usando a fórmula de Newton-Cotes com e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais definidas, onde usamos métodos numéricos para estimar o valor de integrais quando não conseguimos resolver de forma exata. Aqui, vamos precisar entender a Fórmula de Simpson (que é uma das fórmulas de Newton-Cotes) e como aplicá-la para aproximar . Também vamos calcular o erro relativo dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que ln 2 = integral1^2 1x , dx pode ser representado como a integral de de 1 a 2:
Nosso objetivo é aproximar esse valor usando a Fórmula de Simpson.

Passo 3

A Fórmula de Simpson para integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ] (ou seja, usando duas subdivisões) é dada por:
Aqui:
  • e são os limites de integração (1 e 2, respectivamente).
  • é o tamanho do passo, que já está dado como .
  • , , e .

Passo 4

Vamos identificar os pontos:
  • f(x0) = 11 = 1
  • f(x1) = 11.5 approx 0.66666667
  • f(x2) = 12 = 0.5
Agora, vamos calcular em cada ponto, onde :

Passo 5

Substituindo esses valores na Fórmula de Simpson:
integral1^2 1x , dx approx 1/23 [ 1 + 4(0.66666667) + 0.5 ]
Vamos simplificar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calcule 4 times 0.66666667 approx 2.66666668 :
1 + 2.66666668 + 0.5 = 4.16666668
Então, a soma dentro dos colchetes fica:

Passo 7

Agora, multiplique por 0.53 times 4.16666668 approx 0.16666667 times 4.16666668 approx 0.69444445 :
Então, a aproximação para é aproximadamente 0.69444445.

Passo 8

Vamos agora calcular o erro relativo. Sabemos que:
ln 2 approx 0.69314718
O erro relativo é dado por:
Erro Relativo = | Aproximação - Valor ExatoValor Exato | çã
Substituindo os valores:
Erro Relativo = | 0.69444445 - 0.693147180.69314718 | approx | 0.001297270.69314718 | approx 0.001871 ou 0.1871%

Resposta

A aproximação para usando e é e o erro relativo cometido é aproximadamente .

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