Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma aproximação para o usando as fórmulas de Newton-Cotes com e , usando oito dígitos significativos. Além disso, precisamos determinar o erro relativo dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais numéricas e as fórmulas de Newton-Cotes que nos ajudam a aproximar integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as fórmulas de Newton-Cotes. Elas são métodos para aproximar integrais definidas usando polinômios interpoladores. Dependendo do valor de , que representa o número de subintervalos ou graus do polinômio, temos diferentes fórmulas, como a regra do trapézio (), a regra de Simpson () e assim por diante.
Passo 3
No nosso caso, temos e . O valor de é o espaçamento entre os pontos de avaliação da função. Com , estamos utilizando um polinômio cúbico para interpolar os pontos e aproximar a integral.
Passo 4
A fórmula geral de Newton-Cotes para (também conhecida como regra de Simpson 3/8) é dada por:
Onde:
e são os limites da integração.
é o espaçamento entre os pontos ().
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula para aproximar . Sabemos que pode ser representado como a integral de de a , ou seja:
Aqui, , , e conforme dado no problema.
Passo 6
Agora, precisamos calcular os valores da função nos pontos , , e :
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na fórmula de Simpson 3/8:
Simplificando:
Usando oito dígitos significativos, temos:
Passo 8
Para calcular o erro relativo, vamos comparar o valor aproximado com o valor exato de , que é aproximadamente .
Substituindo os valores:
Resposta
A aproximação para é e o erro relativo cometido é de aproximadamente .