Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para ln 2, e o erro relativo cometido, com
c) n=3, h=1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma aproximação para o ln 2 usando as fórmulas de Newton-Cotes com n=3 e h=1/3, usando oito dígitos significativos. Além disso, precisamos determinar o erro relativo dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais numéricas e as fórmulas de Newton-Cotes que nos ajudam a aproximar integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as fórmulas de Newton-Cotes. Elas são métodos para aproximar integrais definidas usando polinômios interpoladores. Dependendo do valor de n, que representa o número de subintervalos ou graus do polinômio, temos diferentes fórmulas, como a regra do trapézio ( n=1), a regra de Simpson ( n=2) e assim por diante.

Passo 3

No nosso caso, temos n=3 e h=1/3. O valor de h é o espaçamento entre os pontos de avaliação da função. Com n=3, estamos utilizando um polinômio cúbico para interpolar os pontos e aproximar a integral.

Passo 4

A fórmula geral de Newton-Cotes para n=3 (também conhecida como regra de Simpson 3/8) é dada por:
integrala^b f(x) , dx approx 3h8 [ f(a) + 3f(a + h) + 3f(a + 2h) + f(b) ]
Onde:
  • a e b são os limites da integração.
  • h é o espaçamento entre os pontos ( h = b - an).

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula para aproximar ln 2. Sabemos que ln 2 pode ser representado como a integral de 1x de 1 a 2, ou seja:
ln 2 = integral1^2 1x , dx
Aqui, a = 1, b = 2, e h = 13 conforme dado no problema.

Passo 6

Agora, precisamos calcular os valores da função f(x) = 1x nos pontos a, a + h, a + 2h e b:
f(a) &= f(1) = 11 = 1 f(a + h) &= f(1 + 13) = f(43) = 143 = 34 = 0,75 f(a + 2h) &= f(1 + 23) = f(53) = 153 = 35 = 0,6 f(b) &= f(2) = 12 = 0,5

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula de Simpson 3/8:
ln 2 approx 3 times 138 [ 1 + 3 times 0,75 + 3 times 0,6 + 0,5 ]
Simplificando:
ln 2 approx 18 [ 1 + 2,25 + 1,8 + 0,5 ] = 18 times 5,55 = 0,69375
Usando oito dígitos significativos, temos:
ln 2 approx 0,6937500

Passo 8

Para calcular o erro relativo, vamos comparar o valor aproximado com o valor exato de ln 2, que é aproximadamente 0,69314718.
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato | times 100%
Substituindo os valores:
Erro Relativo = | 0,6937500 - 0,693147180,69314718 | times 100% approx 0,094%

Resposta

A aproximação para ln 2 é 0,6937500 e o erro relativo cometido é de aproximadamente 0,094%.

Exercícios relacionados