Seja o sistema linear:
(a) Verificar se o Método de Gauss-Jacobi é convergente para este sistema, usando o critério das linhas.
(b) Resolver o sistema com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
O conteúdo envolvido aqui é o Método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares. Para resolver este exercício, vamos precisar saber como verificar a convergência do método usando o critério das linhas e depois aplicar o método com uma estimativa inicial e um critério de parada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o Método de Gauss-Jacobi vai convergir para este sistema. Para isso, usamos o critério das linhas, que basicamente checa se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar cada linha do sistema:
  1. Primeira linha: (Verdadeiro)
  2. Segunda linha: (Verdadeiro)
  3. Terceira linha: (Verdadeiro)
Como todas as linhas satisfazem a condição de diagonalmente dominante, o critério das linhas diz que o Método de Gauss-Jacobi converge para este sistema.

Passo 3

Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jacobi. Temos a estimativa inicial e queremos parar quando a diferença entre as iterações for menor que .
O Método de Gauss-Jacobi resolve cada variável isoladamente, usando os valores da iteração anterior. Vamos reescrever as equações para isolar cada variável:

Passo 4

Vamos aplicar a primeira iteração usando :
Iteração 1:
Agora, comparamos com para ver se já atendemos o critério de parada.
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar.

Passo 5

Iteração 2:
Usando :
Comparando com :
Diferenças:
Ainda temos diferenças maiores que , então vamos para a próxima iteração.

Passo 6

Iteração 3:
Usando :
Comparando com :
Diferenças:
Apenas a última diferença é menor que , então ainda precisamos de mais iterações.

Passo 7

Iteração 4:
Usando :
Comparando com :
Diferenças:
Agora, todas as diferenças são menores que , então podemos parar.

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema é:

Exercícios relacionados

Considere as integrais:
a)
b) .
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Utilizando oito dígitos significativos e as fórmulas de Newton-Cotes do exercício anterior, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
b)
Calcule as integrais a seguir.
(b)
Calcule as integrais a seguir.
(e)