Seja o sistema linear:
ccc 10 x1+2 x2+x3 & = & 7 x1+5 x2+x3 & = & -8 2 x1+3 x2+102 x3 & =6
(a) Verificar se o Método de Gauss-Jacobi é convergente para este sistema, usando o critério das linhas.
(b) Resolver o sistema com x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^t e e=10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
ccc 10 x1+2 x2+x3 & = & 7 x1+5 x2+x3 & = & -8 2 x1+3 x2+102 x3 & = &6
O conteúdo envolvido aqui é o Método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares. Para resolver este exercício, vamos precisar saber como verificar a convergência do método usando o critério das linhas e depois aplicar o método com uma estimativa inicial e um critério de parada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o Método de Gauss-Jacobi vai convergir para este sistema. Para isso, usamos o critério das linhas, que basicamente checa se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar cada linha do sistema:
  1. Primeira linha: |10| >= |2| + |1| 10 >= 3 (Verdadeiro)
  2. Segunda linha: |5| >= |1| + |1| 5 >= 2 (Verdadeiro)
  3. Terceira linha: |102| >= |2| + |3| 102 >= 5 (Verdadeiro)
Como todas as linhas satisfazem a condição de diagonalmente dominante, o critério das linhas diz que o Método de Gauss-Jacobi converge para este sistema.

Passo 3

Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jacobi. Temos a estimativa inicial x^(0) = 0.7 -1.6 0.6 e queremos parar quando a diferença entre as iterações for menor que e = 10^-2.
O Método de Gauss-Jacobi resolve cada variável isoladamente, usando os valores da iteração anterior. Vamos reescrever as equações para isolar cada variável:
  1. x1 = 7 - 2x2 - x310
  2. x2 = -8 - x1 - x35
  3. x3 = 6 - 2x1 - 3x2102

Passo 4

Vamos aplicar a primeira iteração usando x^(0):
Iteração 1:
  1. x1^(1) = 7 - 2(-1.6) - 0.610 = 7 + 3.2 - 0.610 = 9.610 = 0.96
  2. x2^(1) = -8 - 0.7 - 0.65 = -9.35 = -1.86
  3. x3^(1) = 6 - 2(0.7) - 3(-1.6)102 = 6 - 1.4 + 4.8102 = 9.4102 approx 0.0922
Agora, comparamos x^(1) com x^(0) para ver se já atendemos o critério de parada.
Diferenças:
  • |0.96 - 0.7| = 0.26
  • | -1.86 - (-1.6)| = 0.26
  • |0.0922 - 0.6| approx 0.5078
Como todas as diferenças são maiores que 10^-2, precisamos continuar.

Passo 5

Iteração 2:
Usando x^(1) = 0.96 -1.86 0.0922:
  1. x1^(2) = 7 - 2(-1.86) - 0.092210 = 7 + 3.72 - 0.092210 = 10.627810 = 1.06278
  2. x2^(2) = -8 - 0.96 - 0.09225 = -9.05225 = -1.81044
  3. x3^(2) = 6 - 2(0.96) - 3(-1.86)102 = 6 - 1.92 + 5.58102 = 9.66102 approx 0.0947
Comparando x^(2) com x^(1):
Diferenças:
  • |1.06278 - 0.96| approx 0.10278
  • | -1.81044 - (-1.86)| approx 0.04956
  • |0.0947 - 0.0922| approx 0.0025
Ainda temos diferenças maiores que 10^-2, então vamos para a próxima iteração.

Passo 6

Iteração 3:
Usando x^(2) = 1.06278 -1.81044 0.0947:
  1. x1^(3) = 7 - 2(-1.81044) - 0.094710 = 7 + 3.62088 - 0.094710 = 10.526110 = 1.05261
  2. x2^(3) = -8 - 1.06278 - 0.09475 = -9.157485 = -1.83150
  3. x3^(3) = 6 - 2(1.06278) - 3(-1.81044)102 = 6 - 2.12556 + 5.43132102 = 9.30576102 approx 0.0911
Comparando x^(3) com x^(2):
Diferenças:
  • |1.05261 - 1.06278| approx 0.01017
  • | -1.83150 - (-1.81044)| approx 0.02106
  • |0.0911 - 0.0947| approx 0.0036
Apenas a última diferença é menor que 10^-2, então ainda precisamos de mais iterações.

Passo 7

Iteração 4:
Usando x^(3) = 1.05261 -1.83150 0.0911:
  1. x1^(4) = 7 - 2(-1.83150) - 0.091110 = 7 + 3.663 - 0.091110 = 10.571910 = 1.05719
  2. x2^(4) = -8 - 1.05261 - 0.09115 = -9.143715 = -1.82874
  3. x3^(4) = 6 - 2(1.05261) - 3(-1.83150)102 = 6 - 2.10522 + 5.4945102 = 9.38928102 approx 0.0922
Comparando x^(4) com x^(3):
Diferenças:
  • |1.05719 - 1.05261| approx 0.00458
  • | -1.82874 - (-1.83150)| approx 0.00276
  • |0.0922 - 0.0911| approx 0.0011
Agora, todas as diferenças são menores que 10^-2, então podemos parar.

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema é:
x approx 1.0572 -1.8287 0.0922

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