(a) Verificar se o Método de Gauss-Jacobi é convergente para este sistema, usando o critério das linhas.
(b) Resolver o sistema com x^(0)=(0.7,-1.6,0.6)^t e e=10^-2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
O conteúdo envolvido aqui é o Método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares. Para resolver este exercício, vamos precisar saber como verificar a convergência do método usando o critério das linhas e depois aplicar o método com uma estimativa inicial e um critério de parada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o Método de Gauss-Jacobi vai convergir para este sistema. Para isso, usamos o critério das linhas, que basicamente checa se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Como todas as linhas satisfazem a condição de diagonalmente dominante, o critério das linhas diz que o Método de Gauss-Jacobi converge para este sistema.
Passo 3
Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jacobi. Temos a estimativa inicial x^(0) = 0.7 -1.6 0.6 e queremos parar quando a diferença entre as iterações for menor que e = 10^-2.
O Método de Gauss-Jacobi resolve cada variável isoladamente, usando os valores da iteração anterior. Vamos reescrever as equações para isolar cada variável: