Considere uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado é de base binária. Considere que essa máquina tem capacidade para armazenar um número
com doze dígitos significativos, com limites inferior e superior para o expoente de -15 e 15 , respectivamente. Quantos bits são necessários para representar um número nesta máquina? Como é representado o número (25) 10 neste sistema?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre como uma máquina de calcular representa números usando a base binária. A gente precisa descobrir quantos bits são necessários para essa representação e também como o número 25 na base decimal é representado nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação de números em ponto flutuante, que envolve o sinal, o expoente e a mantissa.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantos bits são necessários no total. A máquina usa 12 dígitos significativos, que são os bits da mantissa. Além disso, precisamos de bits para o sinal e para o expoente.
  • Bit de Sinal: Sempre usamos 1 bit para indicar se o número é positivo ou negativo. Então, temos 1 bit aqui.
  • Mantissa: Já sabemos que são 12 bits.
  • Expoente: O expoente vai de -15 a 15. Isso significa que precisamos representar 31 valores diferentes (de -15 a +15, incluindo o zero). Para representar 31 valores, usamos 5 bits, porque Total de bits = Bit de Sinal + Expoente + Mantissa = 1 + 5 + 12 = 18 bits é o mínimo que cobre esse intervalo.
Então, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos representar o número 25 na base decimal nesse sistema binário de ponto flutuante.
Primeiro, convertemos 25 para binário:
2510 = 110012
Em ponto flutuante, representamos esse número na forma:
Número = (-1)^Sinal times 1Mantissa times 2^Expoente ú
Vamos normalizar 11001:
110012 = 1.1001 times 2^4
Aqui, a mantissa é 1001. Porém, precisamos de 12 bits para a mantissa, então vamos completar com zeros:
Mantissa = 100100000000
Para o expoente, temos Expoente armazenado = 4 + 15 = 19 . Mas, como o expoente pode ser de -15 a 15, usamos um viés (bias). O viés é geralmente metade do intervalo positivo, então aqui usamos 15.
1910 = 100112
Convertendo 19 para binário com 5 bits:
O bit de sinal para um número positivo é 0.

Resposta

O número 25 na base decimal é representado no sistema binário da máquina como:
0 , 10011 , 100100000000
Ou, juntando todos os bits:
010011100100000000

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