Considere uma máquina com sistema de representação de números definido por: base 10 (
dígitos na mantissa
e expoente no intervalo:
. Pede-se:
g) O que podemos concluir sobre a validade das propriedades como: comutativa, associativa, elemento neutro da adição de números em aritmética de ponto flutuante?
g) O que podemos concluir sobre a validade das propriedades como: comutativa, associativa, elemento neutro da adição de números em aritmética de ponto flutuante?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma máquina que representa números usando ponto flutuante com base 10, 4 dígitos na mantissa e expoente variando de -5 a 5. O que precisamos analisar é como isso afeta propriedades matemáticas como comutatividade, associatividade e a existência de um elemento neutro na adição. Vamos descobrir se essas propriedades ainda valem nessa representação de números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é comutatividade: em adição, significa que a ordem dos números não altera o resultado, ou seja,
. Em aritmética de ponto flutuante, devido a limitação de dígitos na mantissa, aconteceram arredondamentos. Esses arredondamentos podem fazer com que
não seja exatamente igual a
, já que a ordem pode influenciar qual arredondamento ocorre primeiro. Portanto, a comutatividade não é garantida.
Passo 3
Agora, sobre a associatividade: essa propriedade diz que ao somar três números, a forma como agrupamos não muda o resultado, ou seja,
. Mas, na prática da aritmética de ponto flutuante, cada operação de adição pode introduzir erros de arredondamento. Assim,
pode não ser igual a
porque os arredondamentos podem ocorrer de forma diferente em cada agrupamento. Então, a associatividade também não é garantida.
Passo 4
Sobre o elemento neutro da adição, que é o número zero (
), ele deve satisfazer
para qualquer número
. Na aritmética de ponto flutuante, se o zero é representado exatamente (o que geralmente é o caso), então adicionar zero a qualquer número não altera o valor do número. Portanto, o elemento neutro da adição é mantido nessa representação.
Resposta
Em resumo, na aritmética de ponto flutuante com as especificações dadas, as propriedades de comutatividade e associatividade não são garantidas devido aos arredondamentos durante as operações. No entanto, o elemento neutro da adição, que é o zero, é mantido.
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Considere uma máquina com sistema de representação de números definido por: base 10 (
dígitos na mantissa
e expoente no intervalo:
. Pede-se:
f) Considere e
. Qual o resultado obtido nets máquina para
e
, calculados de acordo com:
e
. Justifique!
f) Considere
Seja o número
a) Escreva sua representação binária.
a) Escreva sua representação binária.
Seja o polinômio
. Deseja-se obter o valor de
para
.
b) Calcule considerando o sistema
, utilizando arredondamento a cada operação efetuada.
b) Calcule
Considere
e
e operações em ponto flutuante numa mantissa com 4 dígitos (os números são sempre arredondados e normalizados após cada operação). Mostre que:
a)
a)