Determine a fatoração de Cholesky da matriz A, e seguida resolva o sistema A x=b, onde b=(48,-44,76,51)^T.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa fazer a fatoração de Cholesky da matriz 48 -44 76 51 e depois resolver o sistema , onde . A fatoração de Cholesky é útil quando a matriz é simétrica e positiva definida, e ela nos ajuda a resolver sistemas lineares de forma mais eficiente. Vamos precisar trabalhar com multiplicação de matrizes e entender como decompor em uma matriz triangular inferior e sua transposta.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a matriz é simétrica. Olhando rapidinho, vemos que os elementos são iguais em posições simétricas em relação à diagonal principal. Por exemplo, o elemento e , e assim por diante. Então, é simétrica, o que é bom para aplicar a fatoração de Cholesky.
Passo 3
Agora, vamos verificar se 9 & -6 -6 & 13 é positiva definida. Uma forma simples é checar se todos os determinantes principais são positivos. Calculando:
Continuando desse jeito até , confirmamos que todos são positivos.
Então, é positiva definida, e podemos proceder com a fatoração de Cholesky.
Passo 4
Vamos agora construir a matriz , que é triangular inferior, onde . A gente faz isso elemento por elemento:
Agora, para :
Continuamos desse jeito para todos os elementos de .