Considere a matriz
A=[cccc 9 & -6 & 12 & 9 -6 & 13 & -11 & -21 12 & -11 & 21 & 21 9 & -21 & 21 & 63 ]
Determine a fatoração de Cholesky da matriz A, e seguida resolva o sistema A x=b, onde b=(48,-44,76,51)^T.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa fazer a fatoração de Cholesky da matriz 48 -44 76 51 e depois resolver o sistema , onde . A fatoração de Cholesky é útil quando a matriz é simétrica e positiva definida, e ela nos ajuda a resolver sistemas lineares de forma mais eficiente. Vamos precisar trabalhar com multiplicação de matrizes e entender como decompor em uma matriz triangular inferior e sua transposta.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a matriz é simétrica. Olhando rapidinho, vemos que os elementos são iguais em posições simétricas em relação à diagonal principal. Por exemplo, o elemento e , e assim por diante. Então, é simétrica, o que é bom para aplicar a fatoração de Cholesky.

Passo 3

Agora, vamos verificar se 9 & -6 -6 & 13 é positiva definida. Uma forma simples é checar se todos os determinantes principais são positivos. Calculando:
  • Continuando desse jeito até , confirmamos que todos são positivos.
Então, é positiva definida, e podemos proceder com a fatoração de Cholesky.

Passo 4

Vamos agora construir a matriz , que é triangular inferior, onde . A gente faz isso elemento por elemento:
Agora, para :
Continuamos desse jeito para todos os elementos de .

Passo 5

Continuando a construção de :
Agora, para :
Por fim, para :
E, finalmente, para :

Passo 6

Agora, temos a matriz L = 3 & 0 & 0 & 0 -2 & 3 & 0 & 0 4 & -1 & 2 & 0 3 & -5 & 2 & 5 :
L^T = 3 & -2 & 4 & 3 0 & 3 & -1 & -5 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 5
E a transposta :
Assim, a fatoração de Cholesky de é .

Passo 7

Agora que temos 3 y1 = 48 -2 y1 + 3 y2 = -44 4 y1 - y2 + 2 y3 = 76 3 y1 -5 y2 + 2 y3 + 5 y4 = 51 , vamos resolver o sistema . Podemos fazer isso em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Primeiro, escrevemos o sistema :

Passo 8

Vamos resolver o sistema 16 -4 4 -5 :
  1. Da primeira equação: .
  2. Da segunda equação: .
  3. Da terceira equação: .
  4. Da quarta equação: .
Então, .

Passo 9

Agora, resolvemos o sistema 3 x1 -2 x2 +4 x3 +3 x4 = 16 0 x1 +3 x2 -1 x3 -5 x4 = -4 0 x1 +0 x2 +2 x3 +2 x4 = 4 0 x1 +0 x2 +0 x3 +5 x4 = -5 :
Começamos pela última equação:
  1. .
  2. Da terceira equação: .
  3. Da segunda equação: .
  4. Da primeira equação: .

Resposta

A solução do sistema x = 1 -2 3 -1 é:

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