Mostre que a fatoração de uma matriz pode evoluir para a fatoração , onde a matriz é uma matriz diagonal de elementos . Em seguida, elabore um exemplo da situação elencada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a fatoração de uma matriz pode se transformar na fatoração , onde é uma matriz diagonal com os elementos . A gente vai trabalhar com matrizes e fatorações, que são maneiras de decompor uma matriz em outras mais simples. Para resolver isso, precisamos entender o que são as fatorações e e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a fatoração . Essa fatoração decompoe uma matriz em duas matrizes: , que é triangular inferior (ou seja, tem todos os elementos acima da diagonal iguais a zero), e , que é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). Assim:
Isso é super útil para resolver sistemas lineares, por exemplo.

Passo 3

Agora, vamos entender a fatoração . Aqui, a matriz é decomposta em três partes:
  • , que continua sendo uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal.
  • , que é uma matriz diagonal (tem elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal).
  • , que é a transposta de .
    Então, a fatoração fica:
Essa fatoração é especialmente útil para matrizes simétricas.

Passo 4

Para conectar as duas fatorações, vamos manipular a fatoração . Se escrevemos como , onde é a matriz diagonal com os elementos de e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal, temos:
Agora, definimos e , o que nos dá:
Assim, conseguimos transformar a fatoração na fatoração .

Passo 5

Vamos ver um exemplo prático. Seja a matriz:
Primeiro, fatoramos em . Encontramos:
Agora, identificamos como os elementos diagonais de :
E ajustamos para ter 1s na diagonal:
Finalmente, a fatoração fica:

Resposta

Assim, mostramos que a fatoração de uma matriz pode ser transformada na fatoração , utilizando uma matriz diagonal com os elementos . No exemplo dado, a matriz foi fatorada com sucesso em .

Exercícios relacionados

Exemplifique com uma matriz de ordem 3 a situação em que admite fatoração LU, porém, os fatores L e U não são únicos.
Utilizando a questão anterior, prove que , sendo que .
Encontre um intervalo que contenha ao menos uma raiz de cada função (utilize o teorema de localização de raízes):
a)