Mostre que a fatoração L U de uma matriz A pode evoluir para a fatoração L D L^t, onde a matriz D é uma matriz diagonal de elementos ui i. Em seguida, elabore um exemplo da situação elencada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a fatoração LU de uma matriz A pode se transformar na fatoração LDL^t, onde D é uma matriz diagonal com os elementos uii. A gente vai trabalhar com matrizes e fatorações, que são maneiras de decompor uma matriz em outras mais simples. Para resolver isso, precisamos entender o que são as fatorações LU e LDL^t e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a fatoração LU. Essa fatoração decompoe uma matriz A em duas matrizes: L, que é triangular inferior (ou seja, tem todos os elementos acima da diagonal iguais a zero), e U, que é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). Assim:
A = LU
Isso é super útil para resolver sistemas lineares, por exemplo.

Passo 3

Agora, vamos entender a fatoração LDL^t. Aqui, a matriz A é decomposta em três partes:
  • L, que continua sendo uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal.
  • D, que é uma matriz diagonal (tem elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal).
  • L^t, que é a transposta de L.
    Então, a fatoração fica:
A = LDL^t
Essa fatoração é especialmente útil para matrizes simétricas.

Passo 4

Para conectar as duas fatorações, vamos manipular a fatoração LU. Se escrevemos U como D U', onde D é a matriz diagonal com os elementos uii de U e U' é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal, temos:
A = L U = L (D U') = (L D^1/2) (D^1/2 U')
Agora, definimos L' = L D^1/2 e U' = D^1/2 U', o que nos dá:
A = L' D L'^t
Assim, conseguimos transformar a fatoração LU na fatoração LDL^t.

Passo 5

Vamos ver um exemplo prático. Seja a matriz:
A = 4 & 2 2 & 3
Primeiro, fatoramos A em LU. Encontramos:
L = 1 & 0 0.5 & 1 , U = 4 & 2 0 & 2
Agora, identificamos D como os elementos diagonais de U:
D = 4 & 0 0 & 2
E ajustamos L para ter 1s na diagonal:
L' = 1 & 0 0.5 & 1
Finalmente, a fatoração LDL^t fica:
A = L' D L'^t = 1 & 0 0.5 & 1 4 & 0 0 & 2 1 & 0.5 0 & 1

Resposta

Assim, mostramos que a fatoração LU de uma matriz A pode ser transformada na fatoração LDL^t, utilizando uma matriz diagonal D com os elementos uii. No exemplo dado, a matriz A foi fatorada com sucesso em LDL^t.

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