Mostre que a fatoração
de uma matriz
pode evoluir para a fatoração
, onde a matriz
é uma matriz diagonal de elementos
. Em seguida, elabore um exemplo da situação elencada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a fatoração
de uma matriz
pode se transformar na fatoração
, onde
é uma matriz diagonal com os elementos
. A gente vai trabalhar com matrizes e fatorações, que são maneiras de decompor uma matriz em outras mais simples. Para resolver isso, precisamos entender o que são as fatorações
e
e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a fatoração
. Essa fatoração decompoe uma matriz
em duas matrizes:
, que é triangular inferior (ou seja, tem todos os elementos acima da diagonal iguais a zero), e
, que é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). Assim:
Isso é super útil para resolver sistemas lineares, por exemplo.
Passo 3
Agora, vamos entender a fatoração
. Aqui, a matriz
é decomposta em três partes:
-
, que continua sendo uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal. -
, que é uma matriz diagonal (tem elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal). -
, que é a transposta de .
Então, a fatoração fica:
Essa fatoração é especialmente útil para matrizes simétricas.
Passo 4
Para conectar as duas fatorações, vamos manipular a fatoração
. Se escrevemos
como
, onde
é a matriz diagonal com os elementos
de
e
é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal, temos:
Agora, definimos
e
, o que nos dá:
Assim, conseguimos transformar a fatoração
na fatoração
.
Passo 5
Vamos ver um exemplo prático. Seja a matriz:
Primeiro, fatoramos
em
. Encontramos:
Agora, identificamos
como os elementos diagonais de
:
E ajustamos
para ter 1s na diagonal:
Finalmente, a fatoração
fica:
Resposta
Assim, mostramos que a fatoração
de uma matriz
pode ser transformada na fatoração
, utilizando uma matriz diagonal
com os elementos
. No exemplo dado, a matriz
foi fatorada com sucesso em
.
Exercícios relacionados
Exemplifique com uma matriz
de ordem 3 a situação em que
admite fatoração LU, porém, os fatores L e U não são únicos.
Utilizando a questão anterior, prove que
, sendo que
.
Encontre um intervalo que contenha ao menos uma raiz de cada função (utilize o teorema de localização de raízes):
a)
a)