Encontre um intervalo que contenha ao menos uma raiz de cada função (utilize o teorema de localização de raízes):
a) f(x)=x^2-5 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um intervalo que contenha pelo menos uma raiz da função . Para fazer isso, vamos usar o Teorema de Localização de Raízes, que basicamente diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Ou seja, se e tiverem sinais opostos, tem uma raiz entre e . Vamos precisar calcular os valores da função em diferentes pontos para identificar onde ocorre essa mudança de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0) = (0)^2 - 5(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 em alguns valores de f(1) = (1)^2 - 5(1) + 2 = 1 - 5 + 2 = -2 . Vamos escolher pontos fáceis, como inteiros, para facilitar:
  • Para f(5) = (5)^2 - 5(5) + 2 = 25 - 25 + 2 = 2 :
    f(6) = (6)^2 - 5(6) + 2 = 36 - 30 + 2 = 8
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos analisar os sinais desses valores:
  • Entre f(0) = 2 e f(1) = -2 e f(1) = -2 e f(5) = 2 :
    f(5) = 2 e f(6) = 8
    Aqui, a função muda de positivo para negativo. Segundo o teorema, tem pelo menos uma raiz entre 0 e 1.
  • Entre e :
    A função muda de negativo para positivo, indicando outra raiz entre 1 e 5.
  • Entre e :
    Não há mudança de sinal aqui, então não podemos garantir uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Portanto, identificamos dois intervalos onde a função muda de sinal:
  1. Entre 0 e 1 ( )
  2. Entre 1 e 5 ( )
Esses são os intervalos que contêm pelo menos uma raiz cada, conforme o Teorema de Localização de Raízes.

Resposta

Os intervalos que contêm pelo menos uma raiz da função são:

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