Exemplifique com uma matriz de ordem 3 a situação em que admite fatoração LU, porém, os fatores L e U não são únicos.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente mostrar um exemplo de uma matriz 3x3 chamada que tem uma fatoração LU, ou seja, pode ser decomposta em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Porém, nessa situação, os fatores e não são únicos, ou seja, existem diferentes matrizes e que satisfazem essa fatoração para a mesma matriz . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fatoração LU e quais condições fazem com que essa fatoração seja única ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a fatoração LU. Uma matriz pode ser decomposta em duas matrizes: , que é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e , que é uma matriz triangular superior. A equação é: . Essa decomposição é muito útil para resolver sistemas lineares, calcular determinantes, entre outras aplicações.

Passo 3

No entanto, para que a fatoração LU seja única, geralmente impomos que a diagonal de seja composta por 1’s. Isso garante que não haja múltiplas maneiras de fatorar a matriz . Mas, se permitirmos que os elementos da diagonal de sejam diferentes de 1, a fatoração pode não ser única. Ou seja, podemos ter diferentes matrizes e que multiplicadas resultam na mesma matriz .

Passo 4

Vamos escolher uma matriz 3x3 que permita essa situação. Uma boa escolha é uma matriz que tenha um elemento igual a zero em uma posição estratégica que não prejudique a existência da fatoração LU, mas que permita diferentes escolhas para os elementos de e .

Passo 5

Vamos considerar a seguinte matriz:
Agora, vamos tentar factorar essa matriz em e de maneiras diferentes.

Passo 6

Primeira fatoração:
Vamos supor que a diagonal de seja composta por 1’s.
Aqui, multiplicando obtemos a matriz original.

Passo 7

Segunda fatoração:
Agora, vamos permitir que a diagonal de tenha elementos diferentes de 1.
Por exemplo, podemos escolher:
Multiplicando , também obtemos a matriz original.

Resposta

Assim, mostramos que a matriz
admite uma fatoração LU, mas os fatores e não são únicos, já que podemos encontrar diferentes pares que satisfazem .

Exercícios relacionados

Utilizando a questão anterior, prove que , sendo que .
Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
a)
Mostre que a fatoração de uma matriz pode evoluir para a fatoração , onde a matriz é uma matriz diagonal de elementos . Em seguida, elabore um exemplo da situação elencada.