Considere uma matriz A de dimensão
definida positiva, mostre que pode-se escrever
em que
é uma matriz diagonal tal que
para cada
e
é uma matriz triangular inferior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer matriz
de dimensão
, que seja definida positiva, pode ser escrita como
. Aqui,
é uma matriz diagonal com elementos positivos na diagonal, e
é uma matriz triangular inferior. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes definidas positivas e decomposições de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser definida positiva. Basicamente, uma matriz
é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo
, o produto
é positivo. Essa propriedade garante que a matriz tem certas características úteis, como todas as suas autovalores serem positivos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na decomposição que queremos alcançar:
. Aqui,
é uma matriz diagonal, o que significa que só tem elementos não nulos na diagonal principal. Já
sendo triangular inferior quer dizer que todos os elementos acima da diagonal são zero.
Passo 4
Para construir essa decomposição, vamos começar definindo a matriz diagonal
. Podemos fazer isso escolhendo cada elemento
da diagonal de
para ser igual ao elemento correspondente
de
. Como
é definida positiva, sabemos que cada
, então
também terá elementos diagonais positivos, como requisitado.
Passo 5
Em seguida, vamos definir a matriz
. Para isso, tomamos cada elemento abaixo da diagonal de
e atribuímos à matriz
. Ou seja, para
, definimos
. Todos os outros elementos de
serão zero, já que
é triangular inferior.
Passo 6
Agora, vamos montar a expressão
. A matriz
é a transposta de
, ou seja, uma matriz triangular superior com os mesmos elementos abaixo da diagonal. Ao subtrairmos
e
de
, estamos essencialmente reconstruindo a matriz
, já que adicionamos os elementos fora da diagonal de volta na forma correta.
Resposta
Portanto, qualquer matriz
definida positiva pode ser decomposta como
, onde
é uma matriz diagonal com elementos positivos e
é uma matriz triangular inferior.