Considere uma matriz A de dimensão definida positiva, mostre que pode-se escrever em que é uma matriz diagonal tal que para cada e é uma matriz triangular inferior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer matriz de dimensão , que seja definida positiva, pode ser escrita como . Aqui, é uma matriz diagonal com elementos positivos na diagonal, e é uma matriz triangular inferior. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes definidas positivas e decomposições de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser definida positiva. Basicamente, uma matriz é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo , o produto é positivo. Essa propriedade garante que a matriz tem certas características úteis, como todas as suas autovalores serem positivos.

Passo 3

Agora, vamos pensar na decomposição que queremos alcançar: . Aqui, é uma matriz diagonal, o que significa que só tem elementos não nulos na diagonal principal. Já sendo triangular inferior quer dizer que todos os elementos acima da diagonal são zero.

Passo 4

Para construir essa decomposição, vamos começar definindo a matriz diagonal . Podemos fazer isso escolhendo cada elemento da diagonal de para ser igual ao elemento correspondente de . Como é definida positiva, sabemos que cada , então também terá elementos diagonais positivos, como requisitado.

Passo 5

Em seguida, vamos definir a matriz . Para isso, tomamos cada elemento abaixo da diagonal de e atribuímos à matriz . Ou seja, para , definimos . Todos os outros elementos de serão zero, já que é triangular inferior.

Passo 6

Agora, vamos montar a expressão . A matriz é a transposta de , ou seja, uma matriz triangular superior com os mesmos elementos abaixo da diagonal. Ao subtrairmos e de , estamos essencialmente reconstruindo a matriz , já que adicionamos os elementos fora da diagonal de volta na forma correta.

Resposta

Portanto, qualquer matriz definida positiva pode ser decomposta como , onde é uma matriz diagonal com elementos positivos e é uma matriz triangular inferior.

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