Considere uma matriz A de dimensão definida positiva, mostre que pode-se escrever em que é uma matriz diagonal tal que para cada e é uma matriz triangular inferior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer matriz de dimensão , que seja definida positiva, pode ser escrita como . Aqui, é uma matriz diagonal com elementos positivos na diagonal, e é uma matriz triangular inferior. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes definidas positivas e decomposições de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser definida positiva. Basicamente, uma matriz é definida positiva se, para qualquer vetor não nulo , o produto é positivo. Essa propriedade garante que a matriz tem certas características úteis, como todas as suas autovalores serem positivos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na decomposição que queremos alcançar: . Aqui, é uma matriz diagonal, o que significa que só tem elementos não nulos na diagonal principal. Já sendo triangular inferior quer dizer que todos os elementos acima da diagonal são zero.
Passo 4
Para construir essa decomposição, vamos começar definindo a matriz diagonal . Podemos fazer isso escolhendo cada elemento da diagonal de para ser igual ao elemento correspondente de . Como é definida positiva, sabemos que cada , então também terá elementos diagonais positivos, como requisitado.
Passo 5
Em seguida, vamos definir a matriz . Para isso, tomamos cada elemento abaixo da diagonal de e atribuímos à matriz . Ou seja, para , definimos . Todos os outros elementos de serão zero, já que é triangular inferior.
Passo 6
Agora, vamos montar a expressão . A matriz é a transposta de , ou seja, uma matriz triangular superior com os mesmos elementos abaixo da diagonal. Ao subtrairmos e de , estamos essencialmente reconstruindo a matriz , já que adicionamos os elementos fora da diagonal de volta na forma correta.
Resposta
Portanto, qualquer matriz definida positiva pode ser decomposta como , onde é uma matriz diagonal com elementos positivos e é uma matriz triangular inferior.