Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^5-1=10 x^3+2 x^2+2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que . Para isso, vamos usar métodos numéricos como o de Newton-Raphson e a bissecção. Vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão e entender cada método que vamos aplicar.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para igualar a zero:
x^5 - 10x^3 - 2x^2 - 2x - 1 = 0
Chamaremos essa função de f(x) = x^5 - 10x^3 - 2x^2 - 2x - 1 :
Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem .

Passo 3

Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz. Esse método utiliza a seguinte fórmula iterativa:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de f'(x) = 5x^4 - 30x^2 - 4x - 2 :

Passo 4

Escolhemos um valor inicial f(2) = 32 - 80 - 8 - 4 - 1 = -61 próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos tentar f'(2) = 80 - 120 - 8 - 2 = -50 . Agora, calculamos e :

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = 2 - -61-50 = 2 - 1.22 = 0.78
Agora, usamos como novo ponto de partida.

Passo 6

Calculamos f(0.78) approx 0.78^5 - 10(0.78)^3 - 2(0.78)^2 - 2(0.78) - 1 approx -6.083 e f'(0.78) approx 5(0.78)^4 - 30(0.78)^2 - 4(0.78) - 2 approx -25.908 :

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula:
x2 = 0.78 - -6.083-25.908 approx 0.78 - 0.235 = 0.545
Continuamos iterando até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 8

Após várias iterações, chegamos a:
x approx 0.5447
Com a diferença entre as iterações menor que , consideramos que essa é uma raiz da equação.

Resposta

Uma das raízes da equação é aproximadamente , com um erro menor que .

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