Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que
. Para isso, vamos usar métodos numéricos como o de Newton-Raphson e a bissecção. Vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão e entender cada método que vamos aplicar.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para igualar a zero:
Chamaremos essa função de
:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz. Esse método utiliza a seguinte fórmula iterativa:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
:
Passo 4
Escolhemos um valor inicial
próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos tentar
. Agora, calculamos
e
:
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Agora, usamos
como novo ponto de partida.
Passo 6
Calculamos
e
:
Passo 7
Aplicamos novamente a fórmula:
Continuamos iterando até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 8
Após várias iterações, chegamos a:
Com a diferença entre as iterações menor que
, consideramos que essa é uma raiz da equação.
Resposta
Uma das raízes da equação
é aproximadamente
, com um erro menor que
.
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Equação:
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Considere uma matriz A de dimensão
definida positiva, mostre que pode-se escrever
em que
é uma matriz diagonal tal que
para cada
e
é uma matriz triangular inferior.
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, através de diversos métodos.
Equação:
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