Uma matriz é definida positiva se existe o vetor de variáveis tal que . Supondo que , mostre que, se e , a matriz
é definida positiva, independentemente do valor de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes definidas positivas! A questão pede para mostrar que uma matriz específica é definida positiva, ou seja, que para qualquer vetor , a expressão é maior que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz definida positiva e como calcular essa expressão quadrática. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz e o vetor :
Queremos calcular . A operação é chamada de forma quadrática.
Passo 3
Vamos multiplicar os termos passo a passo. Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicamos por esse resultado:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Note que os termos e se cancelam:
Passo 5
Agora, para que a matriz seja definida positiva, queremos que para todo vetor .
Olhemos para a expressão final:
Passo 6
Sabemos que e são sempre não negativos (ou seja, são maiores ou iguais a zero). Portanto, se e , cada termo na soma será não negativo. Além disso, se , mesmo que , se , o termo será não negativo, garantindo que a soma seja positiva, exceto talvez quando , mas estamos considerando vetores diferentes de zero.
Passo 7
Portanto, sob as condições dadas ( e ), a expressão será sempre maior que zero para qualquer vetor , independente do valor de .
Resposta
A matriz é definida positiva se e , independentemente do valor de .