Uma matriz A é definida positiva se existe o vetor de variáveis x=[x1 x2]^T tal que x^T A x>0. Supondo que a, b, c in R, mostre que, se a>0 e c >= 0, a matriz
A=[cc a & b -b & c ]
é definida positiva, independentemente do valor de b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes definidas positivas! A questão pede para mostrar que uma matriz específica x1 x2 é definida positiva, ou seja, que para qualquer vetor , a expressão é maior que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz definida positiva e como calcular essa expressão quadrática. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = a & b -b & c , x = x1 x2 e o vetor :
Queremos calcular . A operação é chamada de forma quadrática.

Passo 3

Vamos multiplicar os termos passo a passo. Primeiro, calculamos A x = a & b -b & c x1 x2 = a x1 + b x2 -b x1 + c x2 :
x^T A x = x1 & x2 a x1 + b x2 -b x1 + c x2 = x1(a x1 + b x2) + x2(-b x1 + c x2)
Agora, multiplicamos por esse resultado:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
x^T A x = a x1^2 + b x1 x2 - b x1 x2 + c x2^2
Note que os termos x^T A x = a x1^2 + c x2^2 e se cancelam:

Passo 5

Agora, para que a matriz a x1^2 + c x2^2 > 0 seja definida positiva, queremos que para todo vetor .
Olhemos para a expressão final:

Passo 6

Sabemos que e são sempre não negativos (ou seja, são maiores ou iguais a zero). Portanto, se e , cada termo na soma será não negativo. Além disso, se , mesmo que , se , o termo será não negativo, garantindo que a soma seja positiva, exceto talvez quando , mas estamos considerando vetores diferentes de zero.

Passo 7

Portanto, sob as condições dadas ( e ), a expressão será sempre maior que zero para qualquer vetor , independente do valor de .

Resposta

A matriz é definida positiva se e , independentemente do valor de .

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