Uma matriz
é definida positiva se existe o vetor de variáveis
tal que
. Supondo que
, mostre que, se
e
, a matriz
é definida positiva, independentemente do valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes definidas positivas! A questão pede para mostrar que uma matriz específica
é definida positiva, ou seja, que para qualquer vetor
, a expressão
é maior que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz definida positiva e como calcular essa expressão quadrática. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
e o vetor
:
Queremos calcular
. A operação
é chamada de forma quadrática.
Passo 3
Vamos multiplicar os termos passo a passo. Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos
por esse resultado:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Note que os termos
e
se cancelam:
Passo 5
Agora, para que a matriz
seja definida positiva, queremos que
para todo vetor
.
Olhemos para a expressão final:
Passo 6
Sabemos que
e
são sempre não negativos (ou seja, são maiores ou iguais a zero). Portanto, se
e
, cada termo na soma será não negativo. Além disso, se
, mesmo que
, se
, o termo
será não negativo, garantindo que a soma seja positiva, exceto talvez quando
, mas estamos considerando vetores diferentes de zero.
Passo 7
Portanto, sob as condições dadas (
e
), a expressão
será sempre maior que zero para qualquer vetor
, independente do valor de
.
Resposta
A matriz
é definida positiva se
e
, independentemente do valor de
.