Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar as raízes dela, ou seja, os valores de que deixam essa equação verdadeira. Vamos usar alguns métodos matemáticos para isso, garantindo que o erro nas nossas respostas seja menor que . Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre equações polinomiais e métodos numéricos como o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para que tudo fique igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação em ordem decrescente dos expoentes:

Passo 4

Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau, podemos tentar encontrar fatores racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que quaisquer raízes racionais potenciais são frações , onde divide o termo constante (-43) e divide o coeficiente líder (1).
Os possíveis valores de são e . Portanto, as possíveis raízes racionais são e .

Passo 5

Vamos testar essas possíveis raízes na equação para ver se alguma delas a satisfaz:
Para :
Para :
Para :
Esse valor é muito grande e não parece uma raiz viável.
Para :
Também é muito grande em valor absoluto e não é uma raiz.
Então, não temos raízes racionais simples. Vamos precisar usar um método numérico.

Passo 6

Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson para aproximar as raízes. Esse método é iterativo e nos ajuda a encontrar zeros de funções de forma eficiente.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Onde é a nossa equação polinomial e é a sua derivada.

Passo 7

Primeiro, encontramos a derivada da função:

Passo 8

Precisamos escolher um ponto inicial próximo a uma raiz. Para isso, podemos analisar graficamente ou testar valores. Vamos tentar :
Calculando
E
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Agora, usamos para encontrar :

Passo 10

Continuamos com :

Passo 11

Mais uma iteração com :

Passo 12

Vamos verificar a precisão:
Como ainda não atingimos a precisão desejada ( ), repetimos o processo até conseguir.
Após mais algumas iterações, chegamos a:

Resposta

A raiz aproximada da equação com erro menor que é .

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