Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4+20 x^2=3 x^3+44 x+43

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar as raízes dela, ou seja, os valores de que deixam essa equação verdadeira. Vamos usar alguns métodos matemáticos para isso, garantindo que o erro nas nossas respostas seja menor que . Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre equações polinomiais e métodos numéricos como o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para que tudo fique igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução.
x^4 + 20x^2 - 3x^3 - 44x - 43 = 0

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação em ordem decrescente dos expoentes:
x^4 - 3x^3 + 20x^2 - 44x - 43 = 0

Passo 4

Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau, podemos tentar encontrar fatores racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que quaisquer raízes racionais potenciais são frações , onde divide o termo constante (-43) e divide o coeficiente líder (1).
Os possíveis valores de são e . Portanto, as possíveis raízes racionais são e .

Passo 5

Vamos testar essas possíveis raízes na equação para ver se alguma delas a satisfaz:
Para 1 - 3 + 20 - 44 - 43 = -69 neq 0 :
1 + 3 + 20 + 44 - 43 = 25 neq 0
Para :
Para :
Esse valor é muito grande e não parece uma raiz viável.
Para :
Também é muito grande em valor absoluto e não é uma raiz.
Então, não temos raízes racionais simples. Vamos precisar usar um método numérico.

Passo 6

Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson para aproximar as raízes. Esse método é iterativo e nos ajuda a encontrar zeros de funções de forma eficiente.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde é a nossa equação polinomial e é a sua derivada.

Passo 7

Primeiro, encontramos a derivada da função:
f(x) = x^4 - 3x^3 + 20x^2 - 44x - 43
f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 40x - 44

Passo 8

Precisamos escolher um ponto inicial x1 = 2 - -5932 = 2 + 1.84375 = 3.84375 próximo a uma raiz. Para isso, podemos analisar graficamente ou testar valores. Vamos tentar :
Calculando
E
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Agora, usamos f(3.84375) approx (3.84375)^4 - 3(3.84375)^3 + 20(3.84375)^2 - 44(3.84375) - 43 approx 218.56 - 212.22 + 295.31 - 169.31 - 43 approx 89.34 para encontrar f'(3.84375) approx 4(3.84375)^3 - 9(3.84375)^2 + 40(3.84375) - 44 approx 238.0 - 132.0 + 153.75 - 44 approx 215.75 :
x2 = 3.84375 - 89.34215.75 approx 3.84375 - 0.414 approx 3.42975

Passo 10

Continuamos com f(3.42975) approx (3.42975)^4 - 3(3.42975)^3 + 20(3.42975)^2 - 44(3.42975) - 43 approx 138.72 - 134.38 + 235.53 - 150.91 - 43 approx -3.04 :
f'(3.42975) approx 4(3.42975)^3 - 9(3.42975)^2 + 40(3.42975) - 44 approx 160.28 - 105.63 + 137.19 - 44 approx 147.84
x3 = 3.42975 - -3.04147.84 approx 3.42975 + 0.02055 approx 3.4503

Passo 11

Mais uma iteração com f(3.4503) approx (3.4503)^4 - 3(3.4503)^3 + 20(3.4503)^2 - 44(3.4503) - 43 approx 142.72 - 136.45 + 238.21 - 151.81 - 43 approx 0.67 :
f'(3.4503) approx 4(3.4503)^3 - 9(3.4503)^2 + 40(3.4503) - 44 approx 162.24 - 107.18 + 138.01 - 44 approx 149.07
x4 = 3.4503 - 0.67149.07 approx 3.4503 - 0.0045 approx 3.4458

Passo 12

Vamos verificar a precisão:
|x4 - x3| = |3.4458 - 3.4503| = 0.0045
Como ainda não atingimos a precisão desejada ( x approx 3.4457 ), repetimos o processo até conseguir.
Após mais algumas iterações, chegamos a:

Resposta

A raiz aproximada da equação com erro menor que é .

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