Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar as raízes dela, ou seja, os valores de que deixam essa equação verdadeira. Vamos usar alguns métodos matemáticos para isso, garantindo que o erro nas nossas respostas seja menor que . Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre equações polinomiais e métodos numéricos como o Método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para que tudo fique igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação em ordem decrescente dos expoentes:
Passo 4
Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau, podemos tentar encontrar fatores racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que quaisquer raízes racionais potenciais são frações , onde divide o termo constante (-43) e divide o coeficiente líder (1).
Os possíveis valores de são e . Portanto, as possíveis raízes racionais são e .
Passo 5
Vamos testar essas possíveis raízes na equação para ver se alguma delas a satisfaz:
Para :
Para :
Para :
Esse valor é muito grande e não parece uma raiz viável.
Para :
Também é muito grande em valor absoluto e não é uma raiz.
Então, não temos raízes racionais simples. Vamos precisar usar um método numérico.
Passo 6
Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson para aproximar as raízes. Esse método é iterativo e nos ajuda a encontrar zeros de funções de forma eficiente.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Onde é a nossa equação polinomial e é a sua derivada.
Passo 7
Primeiro, encontramos a derivada da função:
Passo 8
Precisamos escolher um ponto inicial próximo a uma raiz. Para isso, podemos analisar graficamente ou testar valores. Vamos tentar :
Calculando
E
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Agora, usamos para encontrar :
Passo 10
Continuamos com :
Passo 11
Mais uma iteração com :
Passo 12
Vamos verificar a precisão:
Como ainda não atingimos a precisão desejada (), repetimos o processo até conseguir.
Após mais algumas iterações, chegamos a:
Resposta
A raiz aproximada da equação com erro menor que é .